1.1 Topologías y bases

“Understanding "invisible" mathematical spaces is nothing but deep understanding of mathematics that we believe to know well.”

— Dorde Baralic

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Una topología en un conjunto $X$ es una familia $\tau$ de subconjuntos de $X$ cuyos elementos, llamados abiertos, satisfacen lo siguiente:

• \(\emptyset, X\) son abiertos
• La unión de una cantidad arbitraria de abiertos es abierto.
• La intersección de dos abiertos es abierto.

De la última condición y aplicando un argumento de inducción, se sigue que la intersección de una cantidad finita de abiertos es abierto.

Un espacio topológico es una pareja $(X,\tau)$, donde $\tau$ es una topología para $X$. Cuando la topología se sobreentiende o no es del todo relevante se suele economizar la notación diciendo que $X$ es un espacio topológico.

Ejemplos:

• Cualquier conjunto no vacío $X$ tiene al menos dos topologías: la topología discreta, definida como $\tau=\mcal{P}(X)$, el conjunto potencia; y la topología indiscreta o trivial está dada por $\tau=\{\emptyset,X\}$.
• Para el conjunto $X=\{a\}$ existe una única topología; de hecho en este caso las topologías discreta y trivial coinciden.
• El conjunto $X=\{a,b\}$ admite cuatro topologías (¿puede el lector determinar cuáles son?). Cuando se considera $\tau_s=\{\emptyset, \{a\},X\}$ se dice que $(X,\tau_s)$ es el espacio de Sierpinski . En general, dado un conjunto de $n$ elementos es posible determinar cuántas topologías se pueden definir en él... aunque en realidad es un problema difícil si no se pone alguna restricción en el tipo de topologías que se quieren considerar.
• Dado un conjunto $X$ decimos que $U\subset X$ es abierto si $U=\emptyset$ ó su complemento $X\backslash U$ es finito. La colección de abiertos de $X$ forma una topología y es llamada topología cofinita o del complemento finito. Cambiando la condición de ser finito por la de ser numerable se obtiene la topología conumerable o del complemento numerable.
• Sea $X$ conjunto no vacío y fijemos $x_0\in X$. La colección $$ \tau=\{U\subset X \barra x_0\in U \} \cup \{\emptyset\} $$ es una topología para $X$ llamada la topología de la inclusión de punto. De manera análoga, considerando subconjuntos que no contienen a $x_0$, se define la topología de la exclusión del punto.
• Sea $\{X_i\}_{i\in I}$ colección de espacios topológicos y tomemos su union $X=\cup_i X_i$. Dotamos a $X$ de la topología mas gruesa $\tau$ de las que contienen a cada una de las topologías de los espacios $X_i$. En estas condiciones $U\subset X$ es abierto si, y solo si $U\cap X_i$ es abierto para cada $i$. El espacio topológico obtenido es llamado la unión disjunta de la colección $\{X_i\}$.
• Sea $X$ conjunto infinito y $x_0\in X$. La colección $$ \tau=\{U\subset X\barra x_0\notin U, \;\mbox{ó}\;\; X\backslash U\;\;\mbox{finito}\} $$ define una topología en $X$, llamada la Topología de Fort .$\blacktriangleleft$

En los ejemplos anteriores las topologías fueron definidas de manera explícita; en lo que sigue daremos una noción dual para definir una topología. Para un espacio topológico $X$ decimos que $C\subset X$ es cerrado si $X\backslash C$ es abierto.

A través de las Leyes de De Morgan $$ X\backslash (A\cup B)=(X\backslash A) \cap (X\backslash B), $$ $$ X\backslash (A\cap B)=(X\backslash A) \cup (X\backslash B) $$ se obtiene que

1. $\emptyset, X$ son cerrados.
2. La unión de dos cerrados es cerrado.
3. La intersección arbitraria de cerrados es cerrado.

Notese la similitud de la definición de cerrado con la definición de topología dada antes. Además, al igual que en dicha definición la segunda condición es válida para una cantidad finita de cerrados. Por la dualidad cerrado-abierto es posible definir los abiertos de una topología como aquellos que son complementos de cerrados.

Para $X$ conjunto infinito definimos a $U\subseteq X$ como cerrado si $U=X$ ó si $U$ finito. Observemos que al definir a los abiertos como complementos de cerrados se obtiene la topología cofinita definida antes.

Bases

Dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto $A\in \tau$ puede expresarse como unión de elementos de $\mcal{B}$. La intención de definir una base para una topología es el de hacer posible una descripción de la topología sin dar de manera explícita todos los abiertos que la comprenden.

Observemos que $\mcal{B}=\{ X \}$ es una base para la topología trivial. Por otro lado, la colección $\mcal{B}=\{\{x\}|\; x\in X\}$ es base para la topología discreta.

$\dem$ Notemos que la implicación $\ida$ se sigue de inmediato de la definición de base.
$\vuelta$ Probaremos que la colección que satisface las dos condiciones es, en realidad, la base de cierta topología: diremos que $U\subset X$ es abierto $\sss$ $U$ es unión arbitraria de elementos de $\mcal{B}$. Denotamos a dicha colección mediante: $$ \tau_{\mcal{B}}=\{\cup_{i\in I}B_i \barra B_i\in \mcal{B}\} $$ Dado que $X$ es la unión de todo y $\emptyset$ es la unión de nada, se sigue que $X,\emptyset\in \tau_{\mcal{B}}$. Por otro lado, para $A,B\in \tau_{\mcal{B}}$ se sigue que $$ A\cap B=\cup \{C\barra C\in \mcal{B},\;\;C\subseteq A\cap B\} $$ Por otro lado, para $U=\cup_i A_i,V=\cup_i B_i $ elementos de $\tau_{\mcal{B}}$ se sigue que $$ U\cap V=\cup_{i,j}(A_i\cap B_j)= \cup \{C\barra C\in \mcal{B},\;\;C\subseteq A_i\cap B_j\}, $$ para algunas $i,j$.$\findem$

La topología $\tau_{\mcal{B}}$ de este resultado es llamada la topología generada por la base $\mcal{B}$.

Ejemplos:

• Sean $X$ conjunto y $\mcal{B}=\{X_i\}$ colección de subconjuntos de $X$, disjuntos a pares tales que $X=\cup_i X_i$. La colección $\mcal{B}$ es una base para una topología llamada la topología de la partición. Tomando $X=N$, el conjunto de los números naturales y la colección $\{2k,2k+1\}_{k\in \bn}$ se obtiene la topología llamada la topología par-impar.
• La topología semi-abierta o del límite inferior en $\mathbb{R}$ es la topología que tiene como base $\mcal{B}=\{[a,b)\;|\; a < b\}$. La recta $\mathbb{R}$ con la topología semi-abierta es llamada la línea de Sorgenfrey.
• La colección de intervalos abiertos $\mcal{B}=\{(a,b)|\; a < b\}$ satisface las condiciones del resultado anterior; la topología generada es llamada la topología usual o euclidiana en la recta real $\mathbb{R}$. Esta base no es única: $$ \mcal{B}_r=\{ (a,b)|\; a < b\; a,b\in \mathbb{Q} \} $$ es también base y, dado que $$ (r,s)=\bigcup (a,b),\;\; r<a<b<s,\; a,b\in \mathbb{Q} $$ se tiene que $\mcal{B}_r$ es más pequeña que $\mcal{B}$.
• Para cada entero $n$ consideramos los conjuntos $$ B(n)=\begin{cases}\{n\},&n\;\;\mbox{impar}\\\{n-1,n,n+1\},&n\;\;\mbox{par} \end{cases} $$ La coleccion $\mcal{B}=\{B(n)\barra n\in \bz\}$ es una base para una topología en $\mathbb{Z}$, llamada la topología de la linea digital. Esta topología tiene aplicaciones en el procesamiento de imagenes digitales.

Sean $\tau_1,\tau_2$ dos topologías para $X$. Decimos que $\tau_2$ es mas fina o más grande que $\tau_1$ si $\tau_1\subset \tau_2$. Equivalentemente decimos que $\tau_1$ es mas más gruesa o más pequeña que $\tau_2$. Observemos que bajo estas condiciones se tiene que todo abierto de $\tau_1$ es abierto de $\tau_2$.

Dado que $$ (a,b)=\bigcup_{n=k}^\infty \left[a+\frac{1}{n},b\right), \;\; \mbox{para}\; a+\frac{1}{k}<b $$ se tiene que la topología semi-abierta es más fina que la topología euclidiana.

En lo descrito arriba vimos que si $\mathcal{B}$ es una base para un espacio topologico, entonces todo abierto puede obtenerse al tomar uniones arbitrarias de elementos de $\mathcal{B}$. Pregunta: ¿será posible "descomponer" los elementos de la base en subconjuntos mas simples? La respuesta nos lleva al siguiente concepto.

Una subbase para $X$ es una colección $\mathcal{P}$ de subconjuntos de $X$ cuya union es $X$. La topología $\tau$ generada por una subbase se define como la coleccion $\tau$ de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{P}$.

Una subbase para la topología usual de $\mathbb{R}$ es la colección $$ \{ (-\infty,a),\;(b,\infty)\;|\; a,b\in \mathbb{R}\} $$ pues para cada abierto $(a,b)=(-\infty,b)\cap (a,\infty)$.

1.2 Cerradura, interior y conceptos relacionados

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Muchos temas que se trabajan dentro de la Topología están motivados por conceptos del Cálculo (Diferencial). En el caso de la cerradura y el interior de un conjunto, los conceptos del Cálculo que los motivan son puntos de adherencia (o puntos límite) y, por tanto, la convergencia de sucesiones.

Sean $X$ espacio topologico y $B\subset X$. Definimos la cerradura $\overline{B}$ como la intersección de todos los cerrados que contienen a $B$; esto es: $$ \overline{B}=\bigcap \{C\;|\; B\subset C,\;\;C\;\mbox{cerrado} \} $$ Así, $\overline{B}$ es el cerrado mas pequeño que contiene a $B$; los puntos de $\overline{B}$ son llamados puntos adherentes de $B$. Notemos que $B$ es cerrado si y solo si $ B=\ol{B}$.

Sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita y tomemos $A\subset =\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$. Tomemos $r\in \mathbb{R}$ cualquiera y $r\in U$, abierto. Por definición $$ U=\mathbb{R}\backslash \{r_1,r_2,\ldots,r_k\} $$ Ahora, como $\mathbb{Z}$ es infinito y $U$ deja fuera una cantidad finita de numeros reales, existe una cantidad infinita de enteros en $U$, varios de ellos distintos de $r$. Esto prueba que $r$ es adherente de $\mathbb{Z}$; dicho de otra forma: en $\mathbb{R}$, con la topología del complemento finito, todo punto es punto limite de $\bz$.

La relación entre el concepto de cerradura y ciertas operaciones entre conjuntos está expresada en la siguiente lista:

• Para $A\subset B$ se tiene $\ol{A}\subset \ol{B}$.
• La cerradura conmuta con uniones finitas: $\ol{A\cup B}=\ol{A}\cup \ol{B}$.
• Sea $\{ A_i\}_i$ familia de subconjuntos de $X$. Dado que $A_j\subset \cup_i A_i$, se tiene que $\ol{A}_j\subset \ol{\cup_i A_i}$, para cualquier $j$. Por lo tanto, $$ \cup_i\ol{A}_i\subset \ol{\cup_i A_i} $$ En general no se da una igualdad entre la cerradura de una unión y la unión de las cerraduras, ésto sólo ocurre en ciertos casos particulares, por ejemplo cuando la familia de subconjuntos satisface alguna condión particular.
• En cuanto a la intersección se tiene: $$\ol{A\cap B}\subset \ol{A}\cap \ol{B},\qquad \ol{\cap_i A_i}\subset \cap \ol{A_i}, $$
• Para la diferencia de subconjuntos y el producto cartesiano de ellos se tiene: $$\ol{A}\baca \ol{B}\subset \ol{A\baca B},\qquad \ol{A\times B}=\ol{A}\times \ol{B}. $$

Una propiedad remarcable de los numeros reales $\mathbb{R}$ es la manera en que los racionales $\mathbb{Q}$ se encuentran ahi como subconjunto: todo numero real tiene numeros racionales muy, muy cerca. Este comportamiento se formaliza de la siguiente manera: decimos que $A\subseteq X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. En general, dados $A\subseteq B$ se dice que $A$ es denso en $B$ si $B\subseteq \overline{A}$.

Ejemplos:

• En cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.
• Tomemos $X$ con la topología del complemento finito y $W\subseteq X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$. Por tanto todo cerrado que contenga un subconjunto infinito es denso.
• Sean $\mathbb{R}$ con la topología usual y $K\subset \mathbb{R}$ cerrado tal que $\mathbb{Q}\subset K$. Entonces $\mathbb{R}\backslash K$ es abierto y no contiene racionales. Como todo intervalo no vacio de reales contiene un número racional, entonces $\mathbb{R}\backslash K$ no contiene ningún intervalo; luego, $\mathbb{R}\backslash K=\emptyset$ y por lo tanto $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.$\blacktriangleleft$

El interior de $B\subset X$ se define como la unión de todos los abiertos contenidos en $B;$ es decir: $$ B^\circ =\bigcup \{ A \;|\; A\subset B,\; \mbox{abierto}\} $$ Observemos que de la definición se obtiene que $B^\circ$ es el abierto mas grande contenido en $B$; los elementos de $B^\circ$ son llamados puntos interiores de $B$. Notemos que $B$ es abierto si y solamente si $B=B^\circ$.

Ejemplos:

• Aunque no es evidente de la definición, tampoco es muy complicado probar las siguientes relaciones entre la cerradura y el interior de un subconjunto con las respectivas nociones de su complemento: para $A,B\subset X$ se cumple $$ X\backslash B^\circ=\overline{X\backslash B},\qquad (X\backslash A)^\circ=X\backslash \overline{A} $$
• Para $\mathbb{R}$ con la topología usual consideramos los racionales $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ y $U\subset \mathbb{R}$ abierto. Para el intervalo $(a,b)\subset U$ se sabe que $(a,b)$ contiene un numero irracional; es decir, se tiene que $(a,b)\cap (\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})\neq \emptyset$ y por tanto $U\not\subset \mathbb{Q}$. De aquí que $\mathbb{Q}$ no contiene a ningún abierto y por tanto $\mathbb{Q}^\circ=\emptyset$.
• En general, decir que $E$ tiene interior vacío significa que el único abierto contenido en él es el conjunto vacio. De manera equivalente, usando la relación de arriba, se sigue que $E^\circ=\emptyset$ si y solamente $X\backslash E$ es denso en $X$.
• Para cualesquiera $a\leq b$ numeros reales, se tiene $$ \overline{(a,b)}=\ol{(a,b]}=\ol{[a,b)}=[a,b], $$ De igual forma $[a,b]^\circ=[a,b)^\circ=(a,b]^\circ=(a,b)$.
• Algunas relaciones entre el interior y ciertas operaciones entre subconjuntos: $$A^\circ \cup B^\circ \subset (A\cup B)^\circ,\qquad A^\circ \cap B^\circ = (A\cap B)^\circ \quad \blacktriangleleft$$

La frontera de $B$ es el conjunto cerrado definido como $$ \partial B=\ol{B}\backslash B^\circ=\overline{B} \cap \overline{X\backslash B}=\overline{B}\cap (X\backslash B^\circ) $$ Es decir, los puntos de la frontera $\partial B$ son puntos de adherencia tanto para $B$ como para $X\backslash B$. Con lo que se definió previamente se sigue para $\mathbb{R}$ con la topología usual, y para cualesquiera $a< b$ se tiene que $$\partial[a,b]=\partial (a,b)=\{a,b\},$$ como era de esperarse.

Sean $X$ espacio topologico y $x\in X$. Decimos que $U\subset X$ es una vecindad de $x$ si existe abierto $V$ tal que $x\in V\subset U$. En otras palabras, $U$ es vecindad de $x$ si $x$ es punto interior de $U$. Si denotamos por $\mathcal{I}(x)$ a la familia de vecindades de $x$ obtenemos que $$ A^\circ =\{x\in A \;|\; A\in \mathcal{I}(x) \}. $$ En estos términos se puede ver que $A$ es abierto si, y solo si es vecindad de cada uno de sus puntos. Notemos que la familia $\mathcal{I}(x)$ satisface:

• $U\in \mathcal{I}(x), U\subset V \Rightarrow V\in \mathcal{I}(x)$
• $U,V\in \mathcal{I}(x)\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{I}(x)$

$\dem$ Caracterizaremos a los puntos que no están en $\ol{B}$: $$ x\not\in \ol{B}\sss x\in (X\baca B)^\circ\sss \exists U\in \mcal{I}(x),\; U\subset X\baca B $$ El resultado se sigue por el argumento opuesto.$\findem$

Dado $x\in X$ decimos que una familia $\mathcal{J}\subset \mathcal{I}(x)$ es una base local en $x$ si para cualquier $U\in \mathcal{I}(x)$ existe $A\in \mathcal{J}$ tal que $A\subset U$. Si $\mathcal{B}$ es base para una topología, los abiertos de $\mathcal{B}$ que contienen a $x$ forman una base local en $x$. Notemos que para cualquier $x\in X$ se tiene que $X\in \mathcal{I}(x)$. Ademas, si $U\in \mathcal{I}(x)$ existe $V\subset U$ tal que $x\in V$ y $V\in \mathcal{I}(y)$ para cualquier $y\in V$. Estas propiedades y las dadas arriba prueban el siguiente resultado

De esto se desprende que las familias de vecindades determinan una topología y viceversa.

Con lo expuesto anteriormente, podemos definir uno de los primeros axiomas de separacion para espacios topológicos, introducidos por H. Tietze bajo el nombre de Trennbarkeitaxiome: decimos que un espacio es $T_1$ o de Fréchet si todo subconjunto finito es cerrado.

$\dem$ $\ida$ Hagamos $U=\cap U_i$ y supongamos que existe $y\in U$ con $y\neq x$; de aqui se sigue que $y\in U_i,\forall i$. Como $X$ es T1 se tiene que $X\baca\{x\}, X\baca\{y\}$ son abiertos y además $x\in X\baca \{y\}$. Asi $X\baca\{y\}\in \mcal{I}(x)$ y por lo tanto $y\in X\baca \{y\}$, lo cual no puede ser.$\findem$

Notemos que todo espacio topológico dotado de la topología trivial y con al menos dos elementos no puede ser $T_1$. Otras propiedades de espacios $T_1$ serán dadas más adelante.

1.3 Continuidad

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Sean $(X,\tau_1), (Y,\tau_2)$ espacios topologicos. Una función $f:X\to Y$ es continua si para cualquier abierto $A\in \tau_2$ la pre-imagen $f^{-1}(A)\in \tau_1$. Como veremos en lo que sigue, esta simple definicion generaliza el concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos.

Recordemos que dada una función $f:X\to Y$ entre conjuntos se cumple $$ f^{-1}(Y\backslash A)=X\backslash f^{-1}(A),\;\;f^{-1}\left(\bigcup A_i\right)=\bigcup f^{-1}(A_i) $$ De aquí se obtiene que una función $f:X\to Y$ es continua si, y solo si, para todo cerrado $C\subset Y$ la preimagen $f^{-1}(C)$ es tambien un cerrado. Además, dada $\mathcal{B}$ base para $\tau_2$, la función $f$ es continua si. y solo si para cualquier $B\in \mathcal{B},\;f^{-1}(B)\in \tau$.

Ejemplo:

• La función identidad $id:(X,\tau)\to (X,\tau)$ es siempre continua. Sin embargo, si se cambia la topología esto ya no es cierto: tomemos $X=\mathbb{R},\tau_1$ topología usual y $\tau_2$ topología semi-abierta. Notemos que $id^{-1}[0,1)=[0,1)$, el cual no es un abierto en la topología usual.

En general, la continuidad de la función identidad de un espacio depende de las topologías involucradas:

Una consecuencia inmediata de este resultado es que toda función $X\to Y$, donde $X$ tiene la topología discreta, es siempre continua; de igual forma, toda función $X\to Y$, donde $Y$ tiene la topología trivial, es también continua. Finalmente, observemos que cualquier función constante es continua, no importando las topologías involucradas.

$\dem$ $\ida$ Notemos que para $A\subset X$ cualquiera $A\subset f^{-1}(\ol{f(A)})$, éste último cerrado. Así $\ol{A}\subset f^{-1}(\ol{f(A)})$ o equivalentemente $$ f(\ol{A})\subset \ol{f(A)} $$ $\vuelta$ Supongamos que $f(\ol{A})\subset \ol{f(A)}$ para todo $A\subset X$ y hagamos $A=f^{-1}(C)$ para $C\subset Y$ cerrado. Obtenemos $$ f(\ol{f^{-1}(C)})\subset \ol{C}=C $$ De donde $\ol{f^{-1}(C)}\subset f^{-1}(C)$ y como la contención inversa siempre se da, se tiene que $\ol{f^{-1}(C)}= f^{-1}(C)$ y $f^{-1}(C)$ es cerrado. $\findem$

Notemos que el resultado anterior define la continuidad de una función en términos de puntos de adherencia, que a su vez está relacionada con la cercania entre puntos y subconjuntos. Así, este resultado muestra que nuestra definición de continuidad está muy relacionada con la noción usual de continuidad en espacios métricos como los espacios euclidianos $\mathbb{R}^n$. Otra manera de determinar la continuidad de una función lo expresa el siguiente resultado

$\dem$ La demostración es inmediata al notar que $f^{-1}$ conmuta con uniones e intersecciones; véase Lema 7.3 en Manetti (2015). $\findem$

Observando que para funciones $f:X\to Y,\;g:Y\to Z$ se tiene que $f^{-1}(g^{-1}(A))=(g\circ f)^{-1}(A)$, se obtiene que composición de funciones continuas es continua.

Decimos que $f:X\to Y$ entre espacios topológicos es continua en $x\in X$ si para cualquier $U\in \mathcal{I}(f(x))$ existe $V\in \mathcal{I}(x)$ tal que $f(V)\subset U$.

$\dem$ $\ida$ Sea $U\in \mcal{I}(f(x))$. Por definición existe abierto $f(x)\in A\subset U$. Tomemos $V=f^{-1}(A)$ y observemos que es una vecindad de $x$ y además $f(V)\subset U$.
$\vuelta$ Supongamos $f$ continua en todo punto y tomemos $A\subset Y$ abierto. Probaremos que $f^{-1}(A)$ es vecindad de cada uno de sus puntos (= es abierto). Tomemos $x\in f^{-1}(A)$ entonces $A$ es vecindad de $f(x)$ por lo que existe vecindad $V$ de $x$ tal que $f(V)\subset A$. Equivalentemente, $V\subset f^{-1}(A)$ y por tanto $f^{-1}(A)$ es vecindad de $x$.$\findem$

Un homeomorfismo es una función biyectiva continua $f:X\to Y$ con inversa continua $g:Y\to X$. Dos espacios $X,Y$ se dicen homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos; la notación que se usará en estos casos es $X\cong Y$.

Es inmediato observar que la relación de homeomorfismo $\cong$ es una relación de equivalencia pues $X\cong X$ debido a que la función identidad es siempre continua. Por otro lado, si $X\cong Y$ entonces $Y\cong X$ pues si $f:X\to Y$ es homeomorfismo, su inversa $f^{-1}:Y\to X$ también lo es. Finalmente, si $X\cong Y,\;Y\cong Z$ entonces $X\cong Z$ pues la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo. De esto se desprende que para un espacio $X$ la operación de composición define el grupo de homeomorfismos ${\rm Top}(X)$ de $X.$ Este grupo es de gran relevancia dentro de la Topología de Bajas Dimensiones por lo que aparecerá en distintas ocasiones a lo largo del presente texto.

Debido a la importancia que tiene el concepto de homeomorfismo dentro de la Topología daremos una caracterización de tales funciones. Una función es abierta si $f(A)$ es abierto para todo $A\subset X$ abierto. Es cerrada si $f(C)$ es cerrado para todo $C\subset X$ cerrado.

$\dem$ Como todo homeomorfismo es biyectivo, basta probar las condiciones de ser cerrada y abierta.
(1) $\ida$ (2) Sea $g:Y\ra X$ la inversa continua de $f$. Para $C\subset X$ cerrado tenemos $f(C)=g^{-1}(C)$, que es cerrado.
(2) $\ida$ (3) Tomemos $A\subset X$ abierto y consideremos $C=X\baca A$ cerrado. Como $f$ es biyectiva, $f(A)=f(X\baca C)=Y\baca f(C)$, que es abierto.
(3) $\ida$ (1) Sean $g:Y\ra X$ la inversa de $f$ y $A\subset X$ abierto. Observemos que $g^{-1}(A)=f(A)$, que es abierto y por tanto $g$ es continua.$\blacksquare$

Llamamos propiedad topológica de un espacio $X$ a aquella que se preserva bajo homeomorfismos; es decir, aquella propiedad del espacio $X$ tal que cualquier otro espacio $Y\cong X$ también la tiene. Notemos que la cardinalidad de un espacio es una propiedad topológica pues todo homeomorfismo es una función biyectiva.

Ejemplos:

• La función $\arctan:\mathbb{R}\to (-\pi/2,\pi/2)$ es claramente un homeomorfismo pues es continua y su inversa, la función tangente, es también continua. En particular se obtiene que la recta real es homeomorfa al intervalo $(-\pi/2,\pi/2)$. De aquí se obtiene que la propiedad de tener longitud infinita no es una propiedad topológica.
• Para $D^n$ el disco unitario en $\mathbb{R}^n$ definamos $F:D^n\to \mathbb{R}^n$ como $F(x)=\frac{x}{1-|x|^2}$ y notemos que $|F(x)|\to \infty$ cuando $|x|\to 1$. La función $F$ es un homeomorfismo con inversa dada por $$ y\longmapsto \frac{2y}{1+\sqrt{1+4|y|^2}} $$ Así, $D^n\cong \mathbb{R}^n$ mostrando que la propiedad de ser acotado no es una propiedad topológica.
• Sea $S^n$ la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ y consideremos $$ C=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\barra \max(|x|,|y|,|z|)=1\} $$ el cubo centrado en el origen de lado de longitud $2$. Consideremos la función $\gamma:C\to S^2$ que proyecta cada punto de $C$ radialmente hacia la esfera; en fórmulas: $$ \gamma(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$ La función $\gamma$ es un homeomorfismo con inversa: $$ \gamma^{-1}(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{\max(|x|,|y|,|z|)} $$ Este ejemplo muestra que la propiedad de tener esquinas no es una propiedad topológica.

1.4 Espacios métricos

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Un espacio métrico es un conjunto $X$ dotado de una función distancia $d:X\times X\to \mathbb{R}$ que satisface:

• $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$.
• $d(x,y)=d(y,x)$
• Desigualdad del Triángulo: $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$, para todo $x,y,z\in X$

Ejemplos:

• Para cualquier conjunto $X$ la función $$ d(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y \end{cases} $$ define una función distancia en $X$.
• La recta $\mathbb{R}$ es un espacio métrico con función distancia dada por $d(x,y)=|x-y|$. Para $\mathbb{R}^n$ se define: $$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2} $$ Esta distancia euclidiana se extiende al espacio complejo $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$ y se define por $$ d(x,y)=\sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2+\cdots +|x_n-y_n|^2}, $$ para $x,y\in \mathbb{C}^n$.
• Sea $(X,d)$ espacio métrico y definamos $$ \overline{d}:X\times X \to \mathbb{R},\qquad \overline{d}(x,y)=min (1,d(x,y)) $$ Esta función define una métrica en $X$ llamada la métrica acotada; el término acotado se debe a que $\overline{d}\leq 1$.
• El espacio euclidiano tiene otras métricas que resultan de utilidad en el Análisis $$ d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|,\qquad d_\infty(x,y)=\max_{i} \{\:|x_i-y_i|\:\} $$ Estas métricas se relacionan entre sí mediante: $$ d_\infty(x,y)\leq d(x,y)\leq d_1(x,y)\leq n\; d_\infty(x,y). $$

Dado un espacio métrico $X$ el conjunto $$B_r(x)=\{y\in X \;|\; d(x,y)\lt r \}$$ es llamada la bola abierta de radio $r>0$ con centro en $x$. El término bola no es siempre el más adecuado debido a que $B_r(x)$ puede no ser algo esférico, y su forma dependerá de la función distancia que se esté considerando.

Con la noción de bola abierta en un espacio métrico $X$ podemos defnir una topología: decimos que $U\subset X$ es abierto si para todo $x\in U$ existe $r>0$ tal que $B_r(x)\subseteq U$. Es inmediato de la definición que la colección $\tau=\{U\subset X \;|\; U\;\mbox{abierto}\}$ define una topología en $X$, llamada la topología métrica en $X$. Algunas cosas que podemos decir usando esta definición son:

• Cualquier bola abierta es un subconjunto abierto.
• Un subconjunto es abierto si, y solamente si, es unión de bolas abiertas. Así, la colección de bolas abiertas forma una base para la topología métrica.
• Un subconjunto $U$ es una vecindad de $x$ si y solo si contiene una bola abierta centrada en $x$.

La definición clásica de continuidad es compatible con la dada anteriormente en el contexto de la topología métrica: la función $f:(X,d)\to (Y,h)$ entre espacios métricos y $x\in X$ es continua en $x$ si y solo si $\forall \epsilon > 0\; \exists\delta>0$ tal que $d(x,y)\lt \delta$ implica que $h(f(x),f(y)) \lt \epsilon$.

Como mencionamos antes, es posible dar diferentes métricas en un mismo conjunto. Con la noción de topología inducida por una métrica surge una pregunta natural: ¿cómo se comparan las topologías inducidas por dos métricas? El siguiente resultado indica cómo hacerlo en términos de los valores que toman las métricas.

Dos métricas en un conjunto $X$ son llamadas equivalentes si ambas inducen la misma topología métrica en $X.$ Por ejemplo, las topologías inducidas por $d,\overline{d}$ son las mismas por lo que son métricas equivalentes.

Un espacio topológico $X$ es llamado metrizable si su topología está inducida por cierta métrica en $X$. Ser metrizable es una propiedad deseable en un espacio debido a que la presencia de una métrica hace al espacio más manejable; así, se buscará hallar condiciones bajo las cuales un espacio es metrizable como el Lema de Urysohn: todo espacio normal y 2do numerable es metrizable.

1.5 Subespacios y productos

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Debido a que muchos objetos de interés dentro de la Topología son subconjuntos de algún espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ es preciso definir cuando una topología es heredada a un subconjunto, lo cual haremos a continuación.

Para $X$ espacios topológico y $Y\subset X$ subconjunto decimos que $U\subset Y$ es abierto en $Y$ si existe $V\subset X$ abierto tal que $U=Y\cap V$. Es inmediato observar que la colección de abiertos en $Y$ es una topología, la cual denotaremos por $\tau_Y$ y la llamaremos topología relativa o la topología del subespacio $Y$.

Al igual que antes, la topología relativa también puede describirse en términos de cerrados: $C\subset Y$ es cerrado en $Y$ si existe $V\subset X$ cerrado tal que $C=Y\cap V$. Directo de la definición se tienen las siguientes propiedades:

• Si $\mathcal{B}$ es una base para $X$, entonces $\mathcal{B}_Y=\{B\cap Y\;|\; B\in \mathcal{B}\}$ es una base para $\tau_Y$.
• La topología relativa es la más pequeña (más gruesa) que hace a la función inclusión $i:Y\to X$ continua pues para cada abierto $A$ de $X$ se tiene que $i^{-1}(A)=Y\cap A$.$\blacktriangleleft$

Ejemplos:

• Sea $n\geq 1$ y consideremos el subsespacio $S^{n-1}\subset \mathbb{R}^n$ dado por los vectores de norma $1$. Observemos que $S^0=\{+1,-1\}\subset \mathbb{R}$. Al considerar bolas abiertas en $\mathbb{R}^2$ y tomando la intersección con $S^1$ se obtiene que los abiertos para $S^1$ son segmentos curvos abiertos.
• Tomemos el cilindro $C=S^1\times [0,1]\subset \mathbb{R}^3$ y observemos que sus abiertos son discos ligeramente curveados obtenidos al intersectar bolas abiertas de $\mathbb{R}^3$ con $C$.
• Si $(X,d)$ es espacio métrico y $Y\subset X$, entonces la restricción $d_Y$ induce una estructura de espacio métrico en $Y$. Además, la topología métrica inducida por $d_Y$ en $Y$ coincide con la topología de $Y$ como subespacio, la razón: toda bola abierta en $Y$ es la intesección de una bola abierta de $X$ intersectada con $Y$.

Decimos que un subespacio $Y$ de $X$ es discreto si su topología relativa es la discreta. En otros términos: $Y\subset X$ es discreto si y sólo si para $y\in Y$ existe abierto $U\subset X$ tal que $U\cap Y=\{y\}$.

Ejemplos:

• Los números enteros $\mathbb{Z}$ son un subespacio discreto de $\mathbb{R}$. Los racionales $\mathbb{Q}$ no lo son debido a que son densos en $\mathbb{R}$.
• Tomemos el subconjunto discreto $C=\{1/n\;|\; n\in N \}\subset \mathbb{R}$ y notemos que $\overline{C}=C\cup \{0\}$, que no es discreto. Así, la cerradura de un discreto no necesariamente es discreto.$\blacktriangleleft$

Consideremos $X,Y$ espacios topológicos y $Z$ subconjuntos tales que $Z\subset Y\subset X$. Observemos que:

• Si $Y$ es abierto, entonces $Z$ abierto en $Y$ sí y sólo si $Z$ abierto en $X$.
• Si $Y$ es cerrado, entonces $Z$ cerrado en $Y$ sí y sólo si $Z$ cerrado en $X$.

El siguiente resultado es de gran importancia cuando se estudian invariantes topológicos de espacios, pues si dos espacios son homeomorfos, también lo serán los espacios que resultan al eliminar un punto de cada uno de ellos.

$\dem$ El resultado se sigue de manera inmediata [McCleary 2006]: la restricción $f':X\baca\{x\}\to Y\baca \{f(x)\}$ es una biyección, donde cada subespacio tiene la topología de subespacio. La función $f'$ es continua pues cada abierto en $Y\baca \{f(x)\}$ es la intersección de un abierto $V$ de $Y$ con el complemento $Y\baca \{f(x)\}$ y la pre-imagen de dicho abierto es la intersección de $f^{-1}(V)$ con el complemento $X\baca\{x\}$ el cual es un abierto relativo. De la misma manera se prueba que la inversa de $f'$ es continua.$\findem$

Supongamos que $f:X\to Y$ es función continua e inyectiva y tomemos $Z=f(X)$, la imagen de $f$; notemos que la función inducida $f':X\to Z$ es claramente biyectiva. Si $f'$ resulta un homeomorfismo, entonces $f$ se llama una inmersión. Equivalentemente, $f$ es una inmersión si todo abierto $U\subseteq X$ tiene la forma $f^{-1}(A)$, para algún abierto $A\subseteq Y$. En general no toda función inyectiva y continua es una inmersión: tomemos la función identidad $$id:(\mathbb{R},\tau)\to (\mathbb{R}, \tau_{\text{trivial}})$$ y observemos que es continua, inyectiva pero no inmersión debido a los abiertos de las topologías propuestas.

A continuación presentamos un resultado que permite obtener una función continua apartir de dos funciones continuas dadas:

Cabe destacar que en el resultado anterior es posible sustituir la propiedad de los subespacios $F,F'$ de ser cerrados por la de ser abiertos, de hecho esta es la forma mas común de presentar este resultado.

Una inmersión cerrada es una inmersión que también es una función cerrada. De manera análoga se define una inmersión abierta.

Al igual que antes, el resultado anterior también es válido sustituyendo la propiedad de ser una función cerrada por la de ser abierta. Existen inmersiones que no son funciones cerradas, ni abiertas. Más aún, una inmersión $f:X\to Y$ es cerrada (abierta) sí y sólo si $f(X)$ es cerrado (abierto) en $Y$.

Concluimos esta sección definiendo una topología en el producto cartesiano $X\times Y$ de dos espacios topológicos; la definición será tal que las proyecciones $$\begin{cases} p_X:X\times Y\ra X,&(x,y)\mapsto x\\ p_Y:X\times Y\ra Y,&(x,y)\mapsto y \end{cases}$$ serán funciones continuas.

Definimos la topología producto en $X\times Y$ como la topología que tiene por base $$\mathcal{B}=\{U\times V\;|\; U\subset X,\;V\subset Y\;\mbox{abiertos} \}$$ Esta colección es llamada la base canónica de la topología producto.

$\dem$ Tomemos $A\subset X\times Y$ abierto y notemos que $$ A=\bigcup_{y\in Y}A\cap (X\times \{y\}) $$ por lo que $p_X(A)=\bigcup p_X(A\cap (X\times \{y\}))$. Haciendo $A=\cup_i (U_i\times V_i)$ notamos que $$ A\cap X\times \{y\}=(\cup_i (U_i\cap X))\times(\cup_i (V_i\cap \{y\}))=\begin{cases} \cup_i (U_i\times \{y\}),&y\in V_i\\ \emptyset,&y\notin V_i \end{cases} $$ con cada uno de los términos abierto en $X$; luego, $p_X(A)$ es abierto.
Por otro lado recordemos que un homeomorfismo es una relación biyectiva a nivel de conjuntos pero también entre las colecciones de abiertos de los respectivos espacios. Asi, para probar el resultado basta hallar tal biyección. Notemos que los abiertos de $X\times \{y\}$ son de la forma $$ (U\times V)\cap (X\times \{y\})=\begin{cases}U\times \{ y\},& y\in V\\ \emptyset,& y\notin V \end{cases} $$ La relación $U\times \{y\}\mapsto U$ es la biyección buscada. $\findem$

$\dem$ $\ida$ Se sigue de manera inmediata.
$\vuelta$ Debido a que $f^{-1}(\cup (U_i\times V_i))=\cup f^{-1}(U_i\times V_i)$ basta probar que la pre-imagen de un elemento de la base $\mcal{B}$ es abierto. Más aún, dado $U\times V\in \mcal{B}$ basta ver que $$ f^{-1}(U\times V)=f_1^{-1}(U)\cap f_2^{-1}(V) $$ lo cual es fácil de verificar.$\findem$

Mediante inducción es posible dotar al producto cartesiano finito $X_1\times \cdots \times X_n$ de la topología producto, definida como aquella que tiene por base a la colección $\mathcal{B}=\{U_1\times \cdots \times U_n \;|\; U_i\subset X_i,\; \mbox{abierto}\}$. Al igual que antes, una función $f:Z\to X_1\times \cdots \times X_n$ es continua sí y sólo si cada componente $f_i=p_{X_i}\circ f$ es continua.

Observemos que con la definición anterior, la topología euclidiana en $\mathbb{R}^n$ coincide con la topología producto para $\mathbb{R}\times\cdots \times \mathbb{R}$ (n veces). Así, como se ve en cursos de cálculo, una función $f:Z\to \mathbb{R}^n$ es continua si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua.

Es posible extender la noción de topología producto a una cantidad infinita de espacios generalizando el caso anterior. De manera natural surgen dos opciones para hacerlo: con la topología de caja (box topology) y la topología producto. Existen algunas sutiles diferencias en ambas definiciones pero al final, debido a algunos ejemplos sencillos, se prefiere la topología producto sobre la topología de caja.

1.6 Espacios de Hausdorff

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Observemos que para cualesquiera dos puntos distintos de $\mathbb{R}^n$ siempre es posible hallar vecindades para cada uno de ellos que sean disjuntas. Esta propiedad está relacionada con la cantidad de abiertos que tiene $\mathbb{R}^n$ y tiene como consecuencia, entre otras tantas, como que el límite de una sucesión es único; por esta razón se busca determinar si un espacio tiene esta propiedad o no. Sin embargo, no es un propiedad que tengan todos los espacios:

Ejemplo:

• Tomemos el conjunto $X=\{1,2,3\}$ con topología $\tau=\{\emptyset, \{1\}, \{2,3\},X\}$. Observemos que los puntos $2,3$ no tienen vecindades ajenas; de hecho, todo abierto que contiene a uno contiene al otro también. Más aun, el elemento $\{2\}$ no es cerrado, a diferencia de lo que ocurre en la topología euclidiana.

Un espacio $X$ es de Hausdorff ó $T_2$ si para cualesquiera $x\neq y\in X$ existen vecindades $U\in \mathcal{I}(x), V\in \mathcal{I}(y)$ tales que $U\cap V=\emptyset$.

Ejemplos:

• Un conjunto con al menos dos elementos y dotado de la topología trivial no es Hausdorff. Cualquier espacio métrico es Hausdorff: $\forall x,y\in X$ tomamos $r$ con $0\lt r \lt d(x,y)/2$ y notamos que $B_r(x)\cap B_r(y)=\emptyset$.
• La recta real $\mathbb{R}$ con la topología cofinita no es un espacio Hausdorff.
• Recordemos que para $x_0\in X$ la colección $$ \tau=\{A\subset X \;|\; x_0\notin A\;\mbox{ó}\: X\backslash A\:\mbox{finito}\;\} $$ forma la Topología de Fort para $X$; con esta topología $X$ es Hausdorff.$\blacktriangleleft$

Consideremos $X$ espacio Hausdorff y $x\in X$. Para $y\in X\backslash\{x\}$ consideremos vecindades $U\in \mathcal{I}(x), V\in \mathcal{I}(y)$ tales que $U\cap V=\emptyset$. De aquí se sigue que $V\subset X\backslash \{x\}$ y por lo tanto $X\backslash \{x\}$ es abierto y por tanto $\{x\}$ es cerrado; más aun, todo subconjunto finito de $X$ es cerrado.

Sean $X,Y$ espacios Hausdorff y $W\subset X$. Tomemos $x,y\in W$ y como $X$ es Hausdorff existen abiertos $U,V$ tales que $$ x\in U,\: y\in V,\;\; U\cap V=\emptyset $$ Observemos que $U\cap W, V\cap W$ son abiertos en $W$ que muestran que $W$ es Hausdorff. Por otro lado tomemos $(x,y),(z,w)\in X\times Y$ con $z\neq x$. Por hipótesis existen abiertos $U,V$ tales que $x\in U,z\in V$. De aquí que $(x,y)\in U\times Y, (z,w)\in V\times Y$, donde se tiene $$ (U\times Y)\cap(V\times Y) =(U\cap V)\times Y=\emptyset $$ que muestra que $X\times Y$ es también un espacio Hausdorff.

$\dem$ Para cada $i,j$ podemos hallar abiertos $U_{ij},U_{ji}$ tales que $$ x_i\in U_{ij},\; x_j\in U_{ji},\qquad U_{ij}\cap U_{ji}=\emptyset $$ El resultado se sigue el definir, para cada $i=1,2,\ldots,n$, el abierto $U_i=\cap \{U_{ij}\barra j\neq i\}$.$\findem$

Para $X$ espacio topológico definimos su subespacio diagonal como $$ \triangle_X=\{(x,x)\in X\times X\;|\; x\in X\} $$ Como veremos a continuación el subespacio $\triangle_X$ es de gran importancia para la propiedad de ser Hausdorff.

$\dem$ $\ida$ Tomemos $(x,y)\in X\times X\baca \triangle_X$. Como $x\neq y$ existen abiertos $U,V$ disjuntos tales que $x\in U, y\in V$; de aqui tenemos que $$ (x,y)\in U\times V\subset X\times X\baca \triangle_X $$ De aqui que $X\times X\baca \triangle_X$ es abierto.
$\vuelta$ Tomemos $(x,y)\in X\times X\baca \triangle_X$. Existen $U,V\subset X$ abiertos tales que $x\in U, y\in V$ y además $U\cap V=\emptyset$. $\findem$

Ejemplo:

• Por el teorema anterior, el complemento $$ F(X,2):=(X\times X)\baca \triangle_X $$ es abierto si $X$ es Hausdorff. Dicho espacio parametriza a dos puntos moviéndose en $X$ sin colisionar. De manera similar puede definirse el espacio $F(X,k)$, llamado el $k$-ésimo espacio de configuración de $X$; el espacio $F(X,k)$ es un punto de encuentro entre diversas áreas de trabajo de las matemáticas modernas: grupos de trenzas, geometría combinatoria, espacios de funciones y topología robótica, por citar algunas.$\blacktriangleleft$

$\dem$ Consideremos la función $$ F:X\lra Y\times Y, \;x\longmapsto (f(x),g(x)) $$ que es continua por hipótesis. El resultado se sigue de observar que $C=F^{-1}(\triangle_Y)$, que es cerrado por el resultado previo.$\findem$

Sea $f:X\to X$ función continua. Decimos que $x_0\in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(x_0)=x_0$. Por el resultado anterior, si $X$ es Hausdorff, el conjunto de puntos fijos de una función continua $f:X\to X$ es cerrado al tomar $g=id,\;Y=X$.

Decimos que un espacio topológico $X$ tiene la propiedad del punto fijo si toda función continua $f:X\to X$ tiene al menos un punto fijo. Esta propiedad es importante pues si cierto espacio la tiene, entonces cualquier otro espacio homeomorfo a él también la tiene; es decir, es una propiedad topológica.

La Teoría del Punto Fijo es una rama de la Topología dedicada a determinar las condiciones bajo las cuales un espacio tiene la propiedad del punto fijo, así como las impliaciones de tal propiedad. Esta rama tiene aplicaciones en Economía y Teoría de Juegos, por citar algunos ejemplos.