2.1 Conexidad

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Decimos que un espacio $X$ es conexo si los únicos subconjuntos que son abiertos y cerrados son el vacío $\emptyset$ y el total $X$. Si $X$ no es conexo se suele llamar disconexo. El siguiente resultado muestra dos relaciones importantes relacionadas con la conexidad.

Las descomposiciones del resultado anterior se conocen como separaciones de $X$. Así, decimos que $X$ es conexo cuando no existe ninguna separación para él.

Ejemplo:

• Sea $X=\{a,b\}$ con la topología trivial. No existe separación de $X$ por lo que es conexo. De este ejemplo se sigue que la conexidad de un espacio topológico depende fuertemente de su topología.$\bt$

El siguiente resultado proporciona un criterio para determinar la conexidad de un espacio.

Ejemplo:

• Tomemos $X=\{x\in \br \barra x\neq 0\}$. Notemos que $$A_1=X\cap (\infty,0),\qquad A_2=X\cap (0,\infty)$$ son abiertos relativos, disjuntos y su unión es $X$; así, $X$ es disconexo.$\bt$

Decimos que un subespacio $Y\subseteq X$ es conexo si lo es en la topología relativa; es decir, es conexo si no tiene una separación compuesta de abiertos relativos.

El siguiente resultado muestra que la conexidad se hereda a ciertos subconjuntos.

En particular, este resultado muestra que la cerradura de cualquier conexo es también conexo.

$\dem$ Sean $C,D$ cerrados no vacíos tales que $[0,1]=C\cup D$, sin pérdida de generalidad supongamos $0\in C$. Afirmamos que $C\cap D\neq \emptyset$. Consideremos $d=\inf D$ y probaremos que $d\in C\cap D$. Como $D$ es cerrado, $d\in D$ por el Lema en Cap. 1 - Sec 1.2. Si $d=0$ el resultado se sigue. Ahora, supongamos que $d>0$ y hagamos $$E=C\cap [0,d]$$ Puesto que $E$ es cerrado y además contiene al intervalo $[0,d)$ se sigue $d\in E$; es decir, $d\in C$. $\findem$

Una de las propiedades más importantes de la conexidad es que se pueda preservar bajo funciones continuas:

En particular, si $f:X\ra Y$ es continua, con $X$ conexo y además la inversa $g:Y\ra X$ es también continua, se sigue que $Y$ es conexo. Como consecuencia, ser conexo es una propiedad topológica.

Bajo ciertas circunstancias el resultado anterior tiene un resultado inverso:

Como consecuencia de los resultados anteriores, y por propiedades de las proyecciones $p_X,p_Y$, es posible probar que el producto cartesiano $X\times Y$ es conexo sí y sólo si, $X,Y$ también lo son. Este resultado se puede extender a una cantidad arbitraria de espacios conexos.

El concepto de espacio conexo se dio en términos conjuntistas al definir una separación para un espacio $X$. De manera equivalente puede definirse la conexidad en términos funcionales:

En el resultado anterior se pudo haber considerado cualquier otro espacio discreto con al menos dos elementos, por ejemplo $\{0,1\}$.

2.1.1 Conexidad por caminos

En lo que sigue definiremos una propiedad muy cercana a la conexidad pero en términos un poco más concretos.

Decimos que $X$ es conexo por caminos (También se usan los términos conexo por trayectorias o arco-conexo) si para cualesquiera $x,y\in X$ existe función continua $\alpha:[0,1]\ra X$ tal que $\alpha(0)=x,\alpha(1)=y$. La función $\alpha$ es llamada el camino que une a $x$ con $y$; de igual forma se dice que $x,y$ son los puntos inicial y terminal de $\alpha,$ respectivamente.

Directamente de la definición, y considerando la continuidad de una composición de funciones continuas, puede mostrarse que la imagen de un conjunto conexo por caminos bajo una función continua es también conexo por caminos.

El siguiente resultado presenta una manera de mostrar la conexidad de un espacio a través de la conexidad por caminos.

$\dem$ Sea $X$ conexo por caminos y tomemos $A,B\subseteq X$ abiertos, no vacíos tales que $X=A\cup B$; probaremos que $A\cap B\neq \emptyset$.

Tomemos $x\in A, y\in B$ y $\alpha$ arco que una a $x$ con $y$. Como $\alpha$ es continua los conjuntos $\alpha^{-1}(A), \alpha^{-1}(B)$ son abiertos, no vacíos y además $$[0,1]=(\alpha^{-1}(A))\bigcup (\alpha^{-1}(B))$$ Dado que $[0,1]$ que es conexo existe $t\in [0,1]$ con $t\in \alpha^{-1}(A)\cap \alpha^{-1}(B)$; de aquí que $\alpha(t)\in A\cap B$ por lo que no existe separación para $X$.$\findem$

En general, el inverso del resultado anterior es falso; es decir, no todo espacio conexo es conexo por caminos, algo puede sonar extraño... pero es posible

Ejemplo:

• El Peine Roto (Deleted Comb Space) es el subespacio de $\br^2$ que se muestra en la Figura 1. El espacio se define por $$X=\{(1/n,y) \barra n\in N, y\in [0,1] \} \cup \{ (0,1) \} \cup ([0,1]\times \{0\})$$ El espacio es conexo pero conexo por caminos.$\bt$

Ejemplo:

• Sea $A$ curva plana dada en coordenadas polares por $$\left\{\left(\frac{\Theta}{\Theta+1},\Theta\right)\barra \Theta \in (0,\infty)\right\},$$ El remolino del topólogo se define como la unión $W=S^1\cup A$ y es un ejemplo de un espacio conexo pero no arco-conexo; véase el ejemplo 6.23 en Adams & Franzosa (2008). $\bt$

Decimos que $A\subseteq\br^n$ es convexo si $\forall x,y\in A$ el segmento de recta $$\mcal{L}_{xy}=\{xt+(1-t)y\barra t\in [0,1]\}$$ está completamente contenido en $A$.

Ejemplo:

• La bola abierta $B_r(x_0)$ de radio $r$ en $\br^n$ es un convexo: tomemos $x,y\in B_r(x_0)$ y $t\in [0,1]$. Consideremos $$\begin{eqnarray*} ||x_0-(xt+(1-t)y)||&=&||(x_0-x)t+(1-t)(x_0-y)||\\ &\leq &||(x_0-x)t|| +|| (1-t)(x_0-y)||\\ &\leq &t||(x_0-x)|| +(1-t)||(x_0-y)||\\ &\leq &tr +(1-t)r=r \end{eqnarray*}$$ Es decir, $\mcal{L}_{xy}\subseteq B_r(x_0)$ y por tanto es convexo. $\bt$

Notemos que de la definición se sigue que todo convexo de $\br^n$ es conexo por caminos; en particular, todo convexo es conexo.

Es posible agregar una condición (sencilla) en un espacio para obtener que la propiedad de conexidad y conexidad por caminos sean nociones equivalentes:

$\dem$ Tomemos $b\in X$ fijo y consideremos la siguiente relación: $$b\approx x \;\sss\; \exists\: \varphi:[0,1]\ra X,\;\mbox{continua}, \;\varphi(0)=b,\:\varphi(0)=x$$ es decir, $b\approx x$ si se pueden unir por un arco. Hagamos $T=\{x\in X \barra x\approx b\}$ y probaremos que $T=X$.
Notemos que $b\approx b$, por lo que $b\in T\neq \emptyset$. Sean $x\in T$, $\epsilon>0$ y consideremos $B_\epsilon(x)\subseteq X$, que existe pues $X$ es abierto. Como $B_\epsilon(x)$ es convexo (Ejemplo bola abierta convexa) para $y\in B_\epsilon(x)$ se tiene $y\approx x$. Finalmente, como $x\in T$ se tiene que $x\approx b\Rightarrow y\approx b$; así $B_\epsilon \subseteq T$ y $T$ es abierto.
Por otro lado, tomemos $y\in \ol{T}$ y $\epsilon>0$. Así $B_\epsilon (y)\cap T\neq \emptyset$, por lo que existe $x\in B_\epsilon (y)\cap T$, de donde $x\approx y$ y como $x\approx b \Rightarrow y\approx b$; es decir, $y\in T$ y $T=\ol{T}$. Así, $T$ es no vacío, abierto y cerrado, por conexidad de $X$ se tiene $T=X$.$\findem$

Siempre resulta natural preguntarse si la conexidad por caminos se preserva bajo uniones, intersecciones y otras operaciones entre subconjuntos. El siguiente resultado responde para el caso de uniones.

$\dem$ Consideremos $x\in A,y\in B$ y probaremos que existe camino que los une.
Por hipótesis podemos tomar $z\in A\cap B$ y caminos $$\beta:[0,1]\lra A,\;\gamma:[0,1]\lra B,\;\;\begin{cases}\beta(0)=x&\beta(1)=z\\\gamma(0)=z&\gamma(1)=y \end{cases}$$ Definimos $\alpha$ como la concatenación de $\beta$ y $\gamma$ $$\alpha(t)=\begin{cases} \beta(2t),&0\leq t\leq 1/2\\ \gamma(2t-1),&1/2\leq t\leq 1 \end{cases}$$ y observemos que $\alpha$ es continua (Lema del Pegado) y además une a $x$ con $y$ y por lo tanto $A\cup B$ es conexo por caminos.$\findem$

El resultado anterior es válido para una familia $\mcal{C}=\{C_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos conexos pro caminos de $X$: si $\bigcap \mcal{C}\neq \emptyset$ entonces $\bigcup \mcal{C}$ es conexo por caminos.

Ejemplos:

• Dados $x,y\in \br^n$ el segmento de linea $$\mcal{L}_{xy}=\{tx+(1-t)y\;|\; \;\;t\in [0,1]\}$$ es un camino que los une.
• Para $n>1$ la esfera $S^n$ es conexa por caminos pues dados $x,y\in S^n$ no antipodales tomamos el segmento de linea del ejemplo anterior y lo normalizamos: $$\frac{tx+(1-t)y}{||tx+(1-t)y||}$$ el cual es un segmento sobre la esfera que une a $x$ con $y$; así, la esfera $S^n$ es arco-conexo.$\bt$

Cuando la conexidad y la conexidad por caminos se consideran en el contexto de la recta real se obtiene la siguiente equivalencia entre estos conceptos.

Con este resultado se obtiene una caracterización de los conexos de $\br$: son todos los intervalos $$(a,b),\;\;[a,b),\;\;(a,b],\;\;[a,b],$$ para $-\infty\leq a\leq b\leq +\infty$.

Ejemplos:

• Recordemos que $\br\cong (-\pi/2,\pi/2)$ (Ejemplo $\arctan$). Del homeomorfismo $(a,b)\cong(-\pi/2,\pi/2)$ se sigue que $\br$ es conexo.
• Consideremos $$w:\br \ra S^1,\;\; t\mapsto (\cos (2\pi t), \sin (2\pi t))$$ Como $w$ es continua y $\br$ es conexo se tiene que $S^1$ es conexo. Más aún, el producto $T^2=S^1\times S^1$, conocido como el toro bidimensional, es también conexo.
• Existencia de Punto Fijo: Sea $f:[0,1]\ra [0,\infty)$ función continua tal que $f(1)=0$. Consideremos $F:[0,1]\ra \br$ definida como $F(x)=f(x)-x$. Dado que $F$ es continua y tiene dominio conexo, su imagen es un conexo de $\br$, es decir, es un intervalo en $\br$ que contiene a $-1$. Además, como $F(0)\geq 0$ existe $t\in [0,1]$ tal que $F(t)=0 \sss f(t)=t$; es decir, $f$ tiene un punto fijo.$\bt$

Como extensión del ejemplo anterior se tiene el siguiente resultado propio del cálculo.

Como $f$ es continua, $f([a,b])$ es subconjunto conexo de $\br$ que contiene a $f(a), f(b)$. Por el Lema anterior tal conexo es un intervalo que además contiene a $c$, asi existe $x_0\in [a,b]$ tal que $f(x_0)=c$. $\findem$

El resultado anterior se puede generalizar a funciones continuas de la forma $f:X\ra \br$, con $X$ espacio conexo.

El siguiente ejemplo muestra que la propiedad de conexidad puede usarse para determinar si dos espacios son o no homeomorfos.

Ejemplo:

• Supongamos $f:[0,1)\ra (0,1)$ homeomorfismo. Por restricción tenemos el homeomorfismo$(0,1)\lra (0,1)\baca \{f(0)\}$ lo cual no puede ser pues el espacio de la derecha no es conexo. Así, los intervalos $[0,1),(0,1)$ no son homeomorfos.$\bt$

$\dem$ Consideremos la función contiua $$g:S^n\lra \br, \;\;x\longmapsto f(x)-f(-x)$$ Por el Ejemplo de la esfera sabemos que $S^n$ es conexo por lo que $g(S^n)$ es un conexo de $\br$ y por tanto un intervalo. Así, dado $y\in S^n$ el intervalo $g(S^n)$ contiene a los puntos $g(y),g(-y)$ y por lo tanto a cualquier combinación de ellos, en particular: $$\frac{1}{2}g(y)+\frac{1}{2}g(-y)=\frac{1}{2}(f(y)-f(-y))+\frac{1}{2}(f(-y)-f(y))=0$$ Es decir, existe $x_0\in S^n$ tal que $g(x_0)=0\sss f(x_0)=f(-x_0)$.$\findem$

Este resultado es un caso particular del Teorema de Borsuk-Ulam que establece que para toda función $f:S^n\ra \br^n$ existe un punto $x_0\in S$ tal que $f(x_0)=f(-x_0)$.

Ejemplos:

• El Teorema de Invarianza del Dominio afirma que ningún subconjunto de $\br$ puede ser homeomorfo a un subespacio abierto de $\br^n$, para $n>1$. Si existiera $A\ra B$ homeomorfismo se tendría, por restricción, una función $A\ra S^{n-1}$, pero por el resultado anterior tal función no puede ser inyectiva.
• Aplicación a Metereología: Supongamos que la superficie del planeta tierra es una esfera. Si la temperatura está dada por una función continua, entonces el resultado arriba muestra que en cualquier momento, existe un lugar del planeta con la misma temperatura que su antipodal; véase Ejemplo 6.22 en Adams & Franzosa (2008). $\bt$

2.1.2 Homotopía I

Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\ra Y$ son homotópicas si existe una función continua $$H:X\times I\lra Y$$ tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$. Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\ra Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De aquí se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a través de la familia de funciones $\{H_t(x)\}_{t\in I}$.

Ejemplo:

• Homotopías como caminos continuos: Sean $X=\{*\},\;f,g:X\ra Y$ continuas. Dado que las imágenes de $f,g$ son puntos $x,y\in Y$, una homotopía $H$ entre tales funciones tiene la forma $$H:X\times I\lra Y,\;\;\; H(*,0)=x,\;\; H(*,1)=y$$ Dado que $X\times I\cong I$ la homotopía es una función continua $H:I\ra Y$ con $H(0)=x,\; H(1)=y$; es decir, la homotopía $H$ es basicamente un camino continuo entre $x,y$. $\bt$

El ejemplo anterior puede ser generalizado mostrando la relación que existe entre una homotopía y conexidad por caminos: dos funciones constantes $f,g:X\ra Y,\;f(x)=y_1,g(x)=y_2$ son homotópicas $\sss$ $y_1,y_2$ pertenecen al mismo subconjunto de $Y$ que sea conexo por caminos.

Por otro lado, si las imágenes de $f,g$ estan contenidas en subconjuntos conexos por caminos disjuntos entonces no pueden ser homotópicas. Estos resultados muestran que la propiedad de ser conexo por caminos puede ponerse en términos homotópicos. Así, dos funciones $f,g:\br \ra \br\baca \{0\}$ constantes $$f(x)=1,\;g(x)=-1$$ no pueden ser homotópicas porque sus imágenes están en distintos lados de la recta real.

2.1.3 Componentes conexas

Cuando un espacio no es conexo entonces está compuesto por pedazos que sí son conexos. Para formalizar esta situación introduciremos el siguiente concepto.

Un subespacio $C\subseteq X$ es llamado una componente conexa de $X$ si es el elemento maximal en la familia de subespacios conexos, ordenados por inclusión; es decir, si cumple:

• $C$ es conexo
• Si $C\subseteq A$, con $A$ conexo, entonces $A=C$.

Ejemplo:

• Notemos que si $C\subseteq X$ es subespacio cerrado, abierto, conexo y no vacío, entonces $C$ es una componente conexa de $X$ pues es conexo y si $C\subseteq A$ entonces $C$ es abierto, cerrado y no vacío en $A$; si $A$ es conexo, entonces $C=A$. $\bt$

En particular, si tomamos $A, B\subset X$ conexos con $x\in A\cap B$ entonces $A\cup B$ es conexo.

$\dem$ Para $C$ componente conexa se sabe que $\ol{C}$ es conexo y contiene a $C$, de aquí que $C=\ol{C}$. Sean $C,D$ componentes conexas tales que $C\cap D\neq \emptyset$. Por la observación anterior $C\cup D$ es conexo. Por las inclusiones $C\subseteq C\cup D \supseteq D$ y la condición maximal de $C,D$ se tiene que $C=C\cup D=D$. $\findem$

$\dem$ Observemos que $\{x\}$ es conexo por lo que $x\in C(x)$. Por el Lema de unión de subespacios conexos, se sigue que $C(x)$ es conexo. Para concluir que es componente conexa debemos mostrar su propiedad maximal: sea $A\subseteq X$ subespacio conexo con $C(x)\subseteq A$; de aquí, $x\in A$ y por definición de $C(x)$ se tiene que $A\subseteq C(x)$. Así, $A=C(x)$. $\findem$

El espacio $C(x)$ del resultado anterior es llamado la componente conexa de $x$. Como consecuencia del resultado anterior se tiene que todo espacio topológico es la unión de sus componentes conexas.

Como mencionamos antes la conexidad puede servir como un parámetro para determinar si dos espacios pueden o no ser homeomorfos. Para el caso de espacios no conexos tenemos el siguiente resultado

$\dem$ Consideremos $C(x)\subseteq X$ componente conexa de $x$ y $h:X\ra Y$ homeomorfismo. Mostraremos que $h(C(x))$ es componente conexa en $Y$.
Dado que $h(C(x))$ es conexo y contiene a $h(x)$, se sigue que $h(C(x))\subseteq C(h(x))$. Por otro lado, $h^{-1}(C(h(x)))\subseteq C(x)$ de donde $C(h(x))\subseteq h(C(x))$. Por lo tanto $h(C(x))=C(h(x))$ y se tiene una relación 1 a 1 entre las componentes conexas de los espacios.$\findem$

Ejemplo:

• Los espacios $\br\baca \{0\},\;\br \baca \{ 0,1 \}$ no son homeomorfos pues el primero tiene dos componentes conexas y el segundo tiene tres. $\bt$

De manera similar a lo que hemos dicho antes definimos la componente conexa por caminos de $x\in X$ como el subconjunto conexo por caminos de $X$ más grande que contiene a $x$.

2.2 Compacidad

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A diferencia de la conexidad la propiedad de compacidad no es un concepto muy intuitivo. Una manera útil de pensar a la compacidad es como una forma de generalizar conjuntos finitos; en particular, los espacios compactos generalizan de las siguientes situaciones:

• Si consideremos un conjunto finito $S$ entonces toda función continua $f:X\ra \br$ alcanza un máximo y un minimo, pues basta ordenar los valores de $f(S)$ y escoger el mayor y menor de ellos, respectivamente.
• Para toda colección de abiertos de un espacio $X$ cuya unión contenga al conjunto finito $S$ siempre es posible encontrar una subcolección finita de abiertos cuya unión contenga a $S$: basta con elegir un abieto que contenga a cada elemento de $S$.

Esta última situación resulta ser la que motiva el concepto moderno de compacidad; por esta razón, iniciamos hablando de colecciones que cubren a un espacio topológico.

2.2.1 Cubiertas y compacidad

Una cubierta para $X$ es una familia $\mcal{A}$ de subconjuntos de $X$ tal que la unión de sus elementos contiene a $X$; es decir, $$X=\bigcup \{A\barra A\in \mcal{A}\}.$$ En tales condiciones se dice que $X$ es cubierto por $\mcal{A}$ o que $\mcal{A}$ cubre a $X$.

De acuerdo a la cardinalidad de una cubierta, esta puede ser finita, infinita numerable} o infinita o numerable. Por otra parte, si todos los elementos de una cubierta con subconjuntos abiertos, entonces la cubierta es llamada abierta, y si los elementos son cerrados entonces la cubierta es llamada cerrada.

En general puede haber distintos tipos de cubiertas para un espacio de acuerdo al tipo de elementos, el número de elementos y ciertos comportamientos de ellos; por ejemplo, una cubierta $\mcal{A}$ es llamada localmente finita> si para $x\in X$ existe $V$ abierto tal que $$x\in V,\;\;V\cap A\neq \emptyset,$$ a lo más para una cantidad finita de $A\in \mcal{A}$. Cuando se tienen dos cubiertas para un mismo espacios resulta natural preguntarse cómo se relacionan entre si. Por ejemplo, si $\mcal{A},\mcal{B}$ son cubiertas y $\mcal{A}\subset \mcal{B}$ entonces se dice que $\mcal{A}$ es subcubierta> de $\mcal{B}$.

Ejemplos:

• Observemos que de la definición, cualquier base es una cubierta abierta.
• Notemos que $\mcal{A}=\{(-n,n)\barra n\in N\}$ es una cubierta abierta para $\br$ pero que ninguna subcubierta finita de ella cubre por completo a $\br$. De igual manera, la colección $$\left\{\left(a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}\right) \barra a\lt b,\: n\in N \right\}$$ es una cubierta abierta para $(a,b)$ y ninguna subcolección finita de ella lo puede cubrir.
• Tomemos $S=\{x_1,\ldots,x_s\}\subset \br$ subconjunto finito y sea $\mcal{A}$ cubierta abierta para $S$. Por definición de cubierta, para cada $i$ podemos tomar $A_i\in \mcal{A}$ tal que $x_i\in A_i$. De esto se tiene que $$S=\{x_1,\ldots,x_s\}\subset \bigcup_{i=1}^s A_i$$ por lo que en este caso la cubierta $\mcal{A}$ sí existe subcubierta finita. $\bt$

Como se muestra en los ejemplos anteriores no siempre es posible encontrar una subcubierta finita para una cubierta dada; cuando esto ocurre se usa un término específico: un espacio $X$ es compacto> si toda cubierta abierta para él admite una subcubierta finita. En general, decimos que $Y\subset X$ es subespacio compacto de $X$ si es compacto en la topología de subespacio. Es decir, $Y\subset X$ es compacto $\sss$ para cualquier colección $\mcal{A}$ de abiertos de $X$ tal que $Y\subseteq\cup \mcal{A}$ existen $A_1,A_2,\ldots A_n\in \mcal{A}$ tales que $Y\subseteq\cup_{i=1}^n A_i$.

Por el Ejemplo de subcubierta finita se obtiene que todo conjunto finito es siempre compacto, independientemente de la topología que tenga.

Notemos que un espacio $X$ no es compacto $\sss$ tiene una cubierta abierta que no contiene una subcubierta finita que lo cubra.

Ejemplo

• Consideremos el subconjunto de $\br$ $$X=\{0\} \cup \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots \right\}$$ Si $\mcal{A}$ es una cubierta abierta para $X$ existe $U\in \mcal{A}$ que contiene a $0$ y a los puntos $\{1,1/2,1/3,\ldots \}$, excepto por una cantidad finita de ellos; escojamos un elemento de $\mcal{A}$ por cada uno de estos elementos que no se encuentren en $X$. La colección de estos abiertos y de $U$ forman una subcubierta finita de $\mcal{A}$ para $X$, mostrando que $X$ es compacto. Observemos que el elemento $0$ es el punto límite de la sucesión $\{x_i=1/i\}_{i\in N}$, lo cual es parte de la relación entre la compacidad resultados del Cálculo. $\bt$

Observemos que el espacio euclidiano $\br^n$ puede ser cubierto por bolas abiertas centradas en el origen: $$\br^n=\bigcup_{n\in N} B_n(0)$$ Es decir, la colección de bolas abiertas es una cubierta abierta para $\br^n$. Si existiera una subcubierta finita, entonces existen radios $n_1,\ldots,n_k$ tales que $$\br^n=\bigcup_{i=1}^k B_{n_i}(0)=B_{m}(0)$$ donde $m=\max\{n_1,\ldots, n_k\}$. Notemos que esto no es posible pues si un vector $x$ tiene norma mayor que $m$, entonces $x\notin \br^n$, lo cual no es posible. Con esto se prueba el siguiente resultado.

El siguiente resultado muestra la relación entre compacidad y la unión de subconjuntos.

Ejemplo

• Un espacio topológico discreto es compacto $\sss$ es finito (basta recordar que en un espacio discreto la colección $\{\{x\}\barra x\in X\}$ forma una cubierta finita). $\bt$

El siguiente resultado muestra que ser compacto es una propiedad topológica.

$\dem$ Consideremos $\mcal{A}$ familia de abiertos de $Y$ que forman una cubierta para $f(X)$. Notemos que la colección $$\{f^{-1}(A)\barra A\in \mcal{A} \}$$ forma una cubierta abierta para $X$; asi, existen $A_1,\ldots, A_n\in \mcal{A}$ tales que $X=\cup_{i=1}^n f^{-1}(A_i)$. Esto implica que $f(X)\subset \cup_{i=1}^n A_i$. $\findem$

En particular, todo espacio homeomorfo a un compacto es también compacto.

$\dem$ Sea $\mcal{A}$ una cubierta abierta para $[0,1]$ y tomemos $$X=\left\{t\barra [0,t]\subset \bigcup_{i\in I}A_i, A_i\in \mcal{A},\; I\;\mbox{finito} \right\}\subseteq [0, \infty)$$ Dado que $\mcal{A}$ cubre a $[0,1]$ $0\in X$ pues $0\in \cup \mcal{A}$; asi, $X$ no vacio y podemos tomar $b=\sup X$.

• Si $b>1$, entonces existe $t\in X$ tal que $1\leq t\leq b$. Asi $[0,1]\subset [0,t]$ y por lo tanto $[0,1]$ es compacto.
• Supongamos que $b\leq 1$. Existe $A\in \mcal{A}$ con $b\in A$. Por ser abierto existe $\delta>0$ tal que $(b-\delta,b+\delta)\subset A$. Por otro lado, existe $t\in X$ tal que $$b-\delta\lt t\leq b$$ Como, $[0,t]\subset A_1\cup \cdots \cup A_n$ si $0\leq h\lt \delta$, entonces $$[0,b+h]=[0,t]\cup [t,b+h]\subset [0,t]\cup (b-\delta, b+\delta)\subset \bigcup_{i=1}^n A_i\cup A,$$ por tanto $b+h\in X$; lo cual no es posible. $\findem$

Ejemplo

• Derivado del resultado anterior, $\br$ no es homeomorfo a $[0,1]$, pues $[0,1]$ es compacto pero $\br$ no. Más aún, dado que $(0,1)\cong \br$ se tiene que $(0,1)$ no es homeomorfo a $[0,1]$.$\bt$

El ejemplo anterior muestra que la propiedad de ser compacto es una propiedad topológica que permite distinguir entre intervalos abiertos y cerrados.

Ejemplo

• Como la compacidad es una propiedad topológica, y por el Teorema de Heine-Borel, se tiene que todo intervalo $[a,b]$ es compacto. Veremos otra prueba de este hecho más adelante. $\bt$

Dado que $(0,1)\subset [0,1]$ se tiene que subespacios arbitrarios de un espacio compacto no necesariamente son compactos. Sin embargo, la compacidad es una propiedad heredada a susbespacios cerrados:

$\dem$ Sean $Y\subset X$ cerrado con $X$ compacto y $\mcal{A}$ cubierta abierta de $Y$. Notemos que $\mcal{A}\cup\{X\baca Y\}$ es una cubierta abierta de $X$, por lo que existen $A_1,\ldots,A_n\in \mcal{A}$ tales que $$X=(X\baca Y)\cup A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$$ De aquí se tiene que $Y\subset A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$.$\findem$

El resultado anterior tiene un converso parcial:

En general, sin la hipótesis de Hausdorff, un subespacio compacto no tiene por qué ser cerrado:

Ejemplo

• Recordemos que la recta real $\br$ con la topología cofinita no es Hausdorff; además los únicos cerrados son los subconjuntos finitos y $X$.
  Afirm. Todo subconjunto no vacío es compacto. Sea $\mcal{O}=\{U_i\}_{i\in I}$ cubierta abierta para $A\subseteq \br$ y tomemos $U_{i_0}\in \mcal{O}$ no vacío. Hacemos $A\baca O_{i_0}=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Para cada uno de estos puntos elegimos $U_{i_j}\in \mcal{O}$ tales que $p_j\in U_{i_j}$. Finalmente notamos que $$A=U_{i_0}\cup U_{i_1}\cup \cdots \cup U_{i_n}$$ por lo que $A$ es compacto.$\bt$

En algunos contextos resulta conveniente probar que un espacio no es compacto:

El siguiente resultado es de gran importancia dentro del Análisis.

$\dem$ $\vuelta$ Para $A\subseteq \br$ cerrado y acotado existe $a>0$ tal que $A\subset [-a,a]$. Dado que $[-a,a]\cong [0,1]$ se sigue que $[-a,a]$ es compacto y por el resultado anterior se sigue que $A$ es compacto.

$\ida$ Sea $A\subseteq \br$ compacto. Como la colección $\{(-n,n) \barra n\in N \}$ cubre a $A$ existen $n_1,n_2,\ldots, n_s$ tales que $$A\subseteq (-n_1,n_1)\cup (-n_2,n_2)\cup \cdots \cup (-n_s,n_s)$$ Entonces, $A\subseteq (-N,N)$, con $N=\max \{n_1,\ldots,n_s\}$; es decir, $A$ es acotada. Ahora para $p\notin A$ la función $$f:\br\baca\{p\}\lra \br,\;\;f(x)=1/x-p$$ es continua, así que $f(A)$ es compacto y también acotado; de aquí que $p\notin \ol{A}$, pues $f$ no toma valores en $\infty=1/0$, lo que prueba que $A$ es cerrado. Aquí se está usando el hecho que $X\baca A\subseteq X\baca \ol{A}\sss \ol{A}\subseteq A\sss A=\ol{A}.$ $\findem$

En el siguiente ejemplo se muestra como la estructura de $\br$ juega un papel importante en el resultado anterior.

Ejemplo:

Cerrado y acotado pero no compacto: Dado $M$ conjunto infinito lo dotamos de una topología a través de la métrica discreta (ver primer ejemplo de función distancia en Cap. 1, sec 1.4): $$d(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y \end{cases}$$ Por definición $M$ es cerrado y además notemos que $M\subset B_2(x_0)$, para cualquier $x_0\in M$; es decir $M$ es cerrado y acotado. No es compacto pues la colección $\{B_{1/2}(x) \barra x\in M \}$ es una cubierta abierta que no admite una subcubierta finita.$\bt$

Al igual que el caso de conexidad, existen fuertes vínculos entre la compacidad y ciertos resultados dentro del Cálculo (Diferencial).

Ejemplo:

• l'épigraphe de $f$: Dada $f:\br\ra \br$ función continua consideremos el conjunto $$E=\{(x,y)\in \br^2 \barra y>f(x) \}.$$

  

  Para $p_1=(x_1,y_1),p_2=(x_2,y_2)\in X$ consideramos $M$ el máximo de $f$ en el compacto $[x_1,x_2]$. Unimos a $p_1$ con $p_2$ uniendo al primero con $z_1=(x_1,M+1),$ éste con $z_2=(x_2,M+1)$ y finalmente éste con $p_2$. Así, $X$ es conexo por caminos.$\bt$

$\dem$ Sin perdidad de generalidad podemos suponer que $f$ es funci\'on sobre, pues si no lo es podemos hacer $Y=f(X)$. Para $A\subseteq X$ consideremos $$A'=\{y\in Y | f^{-1}(y)\subset A\}$$ Dado que $f$ es cerrada y además $Y\backslash A'=f(X\backslash A)$ se sigue que $A'$ es abierto si $A$ también lo es. Sea $\mathcal{A}$ cubierta abierta de $X$ y consideremos $\mathcal{B}$ una familia de uniones finitas de elementos de $\mathcal{A}$: $$\mathcal{B}=\left\{\bigcup_{i\in I} A_i | I\;\mbox{finito} \right\}$$ Afirmamos que $\mathcal{B}'=\{B'| B\in \mathcal{B}\}$ es una cubierta abierta de $Y$.
Sea $y\in Y$ y como $f^{-1}(y)$ es compacto, existen $A_1,\ldots,A_m\in \mathcal{A}$ tales que $f^{-1}(y)\subset A_1\cup A_1\cup \cdots \cup A_m$. Entonces, $y\in B'$, para $B=A_1\cup A_1\cup \cdots \cup A_m$.
Como $Y$ es compacto, existen $B_1,\ldots, B_n\in \mathcal{B}$ tales que $Y=\bigcup_{i=1}^nB_i'$ y por lo tanto $X=B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n$ y, como cada $B_i$ es unión finita de elementos de $\mathcal{A}$, hemos hallado una subcubierta finita de $\mathcal{A}$ de $X$.$\findem$

El siguiente resultado es un criterio de compacidad restringiendo la definición a elementos de una base

Decimos que una colección $\mcal{C}$ de subconjuntos de $X$ tiene la propiedad de intersección finita si para toda subcolección finita $\{C_1,\ldots, C_n\}\subseteq \mcal{C}$ se cumple que $\bigcap_{i=1}^n C_i$ no vacia. Usaremos ésta propiedad para dar un criterio de compacidad en términos de subconjuntos cerrados.

Primero un par de observaciones: para una colección $\mcal{A}$ de subconjuntos de $X$ y la colección de los complementos $$\mcal{A}'=\{A'=X\baca A\barra A\in \mcal{A} \}$$ se tiene que $\mcal{A}$ es abierta $\sss$ $\mcal{A}'$ es colección cerrada. Por otro lado, recordemos las Leyes de DeMorgan $$X\baca \left(\bigcup U_i\right)=\bigcap \left(X\baca U_i\right)$$ para obtener que la colección $\mcal{A}$ es una cubierta para $X$ $\sss$ la intersección $\cap A'$ de todos los elementos de $\mcal{A}'$ es vacia. En particular, la subcolección finita $\{A_1,\ldots,A_n\}\subset \mcal{A}$ es una cubierta para $X$ $\sss$ la intersección $\bigcap_{i=1}^n A_i'$ es vacía.

Demostración del Teorema

El método de demostración será usando un argumento contrapositivo: $(P\Rightarrow Q) \cong (-Q\Rightarrow -P)$. Notemos que el resultado es cierto al notar que $X$ es compacto $\sss$ dada una colección $\mcal{A}$ de abiertos de $X$, si $\mcal{A}$ cubre a $X$ entonces existe subcubierta finita $\sss$ dada una colección $\mcal{A}$ de abiertos, si ninguna subcubierta finita de $\mcal{A}$ cubre a $X$ entonces $\mcal{A}$ no cubre a $X$. Por lo expuesto arriba esto es cierto $\sss$ dada una colección $\mcal{A}'$ de cerrados si toda intersección finita de elementos de $\mcal{A}'$ es no vacia, entonces la intersección de toda $\mcal{A}'$ es no vacia.$\findem$

Un caso de interés del teorema anterior ocurre cuando consideramos una sucesión numerable anidada (o descendiente) de subconjuntos no vacíos $$K_1\supseteq K_2\supseteq \cdots\supseteq K_n\supset K_{n+1}\supseteq \cdots$$ Si los $K_i$ son cerrados en un compacto $X$, entonces por el Teorema que dice que todo subespacio cerrado es compacto, los $K_i$ son compactos.

$\dem$ Por los comentarios de arriba basta notar que para cada $i$ el complemento $K_1\baca K_i$ es abierto en $K_1$ y que si la colección de abiertos $\{K_1\baca K_i\}$ cubre a $K_1$ entonces $\bigcap K_i=\emptyset$, pero observemos que dicha colección no puede cubrir a $K_1$.$\findem$

Ejemplo:

• Para un conjunto $X$ y un elemento distinguido $*\in X$ podemos construir una topología definiendo sus subconjuntos cerrados (veáse Ejemplo de la Topología de Fort) $$B\; \mbox{cerrado}\; \sss \; *\in B\; \mbox{ó}\; B\:\mbox{finito}$$ Notemos que la intersección arbitraria $\cap B_i$ de cerrados es un cerrado por lo que $*\in \cap B_i$ ó $\cap B_i$ es finito; en cualquier caso cualquier colección de cerrados tiene interseción vacia y, por el Teorema de intersección vacía de compactos, se tiene que $X$ es compacto. $\bt$

El ejemplo anterior muestra que en cualquier conjunto con un elemento distinguido puede definirse una topología que le otorga una estructura de espacio Hausdorff y compacto.

2.2.2 Producto finito de compactos es compacto

En esta sección daremos una caracterización de los espacios compactos en términos de productos cartesianos. Iniciamos por un caso sencillo:

$\dem$ Para cada $x\in A$, la pareja $(x,y)$ tiene una vecindad de la forma $U_x\times V_x$ contenida en $W$. Notemos que $$A\times \{y\}\subset \bigcup_{x\in A} (U_x\times V_x)$$ y como $A$ es compacto, existen $x_1,x_2,\ldots,x_n\in A$ tales que $A\times \{y\}\subset \cup_{i=1}^n (U_{x_i}\times V_{x_i})$. Con esto definimos $U=\cup_{i=1}^n U_{x_i},\:V=\cap_{i=1}^n V_{x_i}$, con lo que se obtiene lo que se deseaba: $$A\times \{y\}\subset U\times V\subset W.\;\;\; \blacksquare$$

$\dem$ Por el Lema anterior, para cada $y\in B$ existen abiertos $U_y\subset X, V_y\subset Y$ tales que $A\times \{y\}\subset U_y\times V_y\subset W$. Observemos que $B\subset \cup_{y\in B} V_y$ y como $B$ es compacto existen $y_1,y_2,\ldots, y_k \in B$ tales que $$B\subset \bigcup_{i=1}^k V_{y_i}$$ El resultado se obtiene al definir los abiertos $$U=\bigcap_{i=1}^k U_{y_i},\;\; V=\bigcup_{i=1}^k V_{y_i}.\;\;\blacksquare$$

El Teorema de Wallace puede ser establecido para el producto de una cantidad arbitraria de espacios con subespacios compactos. Véase Engelking (1989).

El siguiente resultado es el inverso parcial del Teorema acerca de subespacios cerrados es compacto, pero para espacios Hausdorff

$\dem$ Sean $K\subset X$, con $X$ Hausdorff y $K$ compacto. Probaremos que $X\baca K$ es abierto.
Para $x\in X\baca K$ el producto $\{x\}\times K$ no intersecta a la diagonal $\triangle\subset X\times X$. Como $X$ es Hausdorff, $\triangle$ es cerrado y $\{x\}\times K$ está contenido en el abierto $W=(X\times X)\baca \triangle$. Por el teorema anterior, existen abiertos $U,V\subset X$ tales que $$\{x\}\times K\subset U\times V\subset W$$ En particular, $x\in U, U\cap K=\emptyset\Rightarrow U\subset X\baca K$.$\findem$

Este resultado es demostrado en Munkres (2000 p. 165) usando el siguiente lema, que a su vez muestra la relación entre compacidad y la propiedad del espacio de separar ciertos subespacios.

Decimos que un espacio $T_1$ es regular (o $T_3$) si para cualesquiera $x\notin B\subseteq X$, con $B$ cerrado, existen abiertos disjuntos $U,V$ tales que $x\in U, B\subseteq V$. Todo subespacio de un espacio regular es regular; además cualquier producto de espacios regulares es regular. Así, el resultado anterior prueba que compacto + Hausdorff $\Ra$ regular.

A continuación otra consecuencia del Teorema de Wallace que será de gran utilidad en las secciones posteriores

$\dem$ Tomemos $C\subset X\times Y$ cerrado; probaremos que $p_Y(C)$ es cerrado. Notemos que si $p_Y(C)=Y$ el resultado se sigue inmediatamente. Asi, supongamos que existe $y\notin p_Y(C)$ y notemos que $$X\times \{y\}\subset (X\times Y)\baca C$$ asi que por el Teorema de Wallace existe vecindad abierta $V$ de $y$ tal que $X\times \{y\}\subset (X\times V)\baca C\Rightarrow (X\times V)\cap C=\emptyset$; de aquí que $V\cap p_Y(C)=\emptyset$.$\findem$

A continuación probaremos el resultado principal de esta sección

$\dem$ Consideremos primero el caso del producto cartesiano de dos espacios compactos $X,Y$. Por el corolario anterior, la proyección $p_Y:X\times Y\ra Y$ es función cerrada y como para cada $y\in Y$ $p_Y^{-1}(y)= X\times \{y\}\cong X$ es compacto, obtenemos que $X\times Y$ es compacto (ver Teorema en sección 2.2.1). El teorema se obtiene entonces al aplicar un argumento de inducción. $\findem$

El caso del producto de una cantidad infinita de compactos es conocido como el Teorema de Tychonoff (Munkres 2000). Lo establecemos a continuación pero dejaremos su demostración para un Capítulo futuro.

Sea $K\subset \br^n$ compacto. Recordemos que $\{B_n(0) \barra n\in N\}$ es cubierta abierta para $\br^n$ y por lo tanto también para $K$. Dado que $B_{n_1}(0)\subset B_{n_2}(0)$, para $n_1\leq n_2$, se tiene que una subcubierta finita está contenida en una sola bola $B_m(0)$ (ver Lema acerca de espacios euclidianos no compactos) y por lo tanto el compacto $K$ es acotado. Por el Ejemplo de un conjunto cerrado y acotado pero no compacto, la implicación contraria (acotado $\Rightarrow$ compacto) debe ser especial e importante y lo obtendremos a partir del resultado anterior.

$\dem$ $\ida$ Sea $A\subset \br^n$ compacto y consideremos $A\ra \br, x\mapsto |x|$. Dado que la función es continua y $A$ es compacto la función alcanza un máximo, lo que implica que $A$ es acotado. Por otro lado, como $\br^n$ es Hausdorff, por el Corolario acerca de subespacios compactos de Hausdorff, se sigue que $A$ es cerrado.

$\vuelta$ Sea $A$ cerrado y acotado, entonces existe $a>0$ tal que $A\subset [-a,a]^n$. Como la compacidad es una propiedad topológica y $[-a,a]\cong [0,1]$ se sigue que $[-a,a]$ es compacto; más aún, por el Lema de arriba se tiene que $[-a,a]^n$ es compacto. Finalmente, usando el Teorema que dice que todo subespacio cerrado es compacto, se tiene que $A$ es compacto. $\findem$

Ejemplo:

• Toda esfera es compacta: Consideremos $S^{n}\subset \br^{n+1}$ esfera de dimensión $n$ y notemos que es un subespacio acotado. También es cerrado pues $S^{n}=f^{-1}(1)$, donde $f:\br^n\ra \br$ es la función continua $$(x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1})\longmapsto x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+x_{n+1}^2$$ Así, $S^{n}$ es compacto. El disco unitario $D^n=\{x\in\br^n \barra |x|\leq 1\}$ también es compacto pues es cerrado por definición y también acotado. $\bt$

Compacidad es una propiedad que puede ser usada para determinar si una función es un homeomorfismo.

$\dem$ Para $A\subset X$ cerrado se tiene que es compacto. Como $f$ es continua, $f(A)$ es compacto y por el Corolario acerca de subespacios compactos de Hausdorff, $f(A)$ es cerrado. Finalmente recordemos que si $f$ es continua, biyectiva y cerrada, entonces $f$ es homeomorfismo (Lema acerca de homeomorfismos). $\findem$

2.2.3 El número de Lebesgue

Dada una cubierta abierta $\mathcal{A}$, un número $\delta>0$ es llamado el número de Lebesgue de $\mathcal{A}$ si todo conjunto de ''tamaño''' menor que $\delta$ está contenido en algún elemento de $\mathcal{A}$. El siguiente resultado garantiza la existencia del número de Lebesgue para un espacio compacto métrico.

$\dem$ Para cada entero positivo $n$ definamos $$Y_n=\{y\in Y | B_{2^{-n}}(y)\subseteq f^{-1}(U),\;\mbox{para algún}\; U\in \mathcal{A} \}$$ Notemos que por definición $Y_n\subseteq Y_{n+1}$; además, como $\mathcal{A}$ es cubierta para $X$, la colección $\{f^{-1}(U)| U\in \mathcal{A}\}$ es cubierta de $Y$ y se tiene que $\cup_n Y_n=Y$.

Afirmación: $Y_n\subseteq Y_{n+1}^\circ$.

Sea $y\in Y_n$ y elijamos $U\in \mathcal{A}$ tal que $B_{2^{-n}}(y)\subset f^{-1}(U)$ y tomemos $z\in B_{2^{-(n+1)}}(y)$. Notemos que para $w\in B_{2^{-(n+1)}}(z)$ se tiene $$\begin{eqnarray*} d(w,y)&\leq & d(w,z)+d(z,y)\\ &\leq &2^{-(n+1)}+ 2^{-(n+1)}=2^{-n} \end{eqnarray*}$$ Es decir, $B_{2^{-(n+1)}}(z)\subseteq B_{2^{-n}}(y)$ por lo que $z\in Y_{n+1}$ y $y\in Y_{n+1}^\circ$. En particular $\cup_n Y_n^\circ =Y$. Como $Y$ es compacto $Y=Y_m^\circ$, para algún $m$; finalmente $Y=Y_m$, por construcción.$\findem$

La existencia del número de Lebesgue para un espacio $X$ puede garantizarse con el comportamiento de funciones continuas definidas en $X$. El siguiente corolario será de gran utilidad cuando se estudie la función exponencial $\mathbb{R}\to S^1$ para el cálculo del grupo fundamental de $S^1$.