4.1 Función cociente

---

Cierto tipo de funciones surgen con el concepto de espacio cociente; estas vienen a tomar el rol que jugaron las inclusiones con la topología del subespacio, así como las proyecciones cuando se introdujo la topología producto.

Sean $X,Y$ espacios topológicos y $f:X\ra Y$ función. Decimos que $f$ es una función cociente si cumple:

1. $f$ es sobreyectiva
2. $f$ es continua
3. Los abiertos $U\subset Y$ son aquellos tales que $f^{-1}(U)\subset X$ son abiertos.

Es decir, $f$ es función cociente si es continua, sobreyectiva y $U\subseteq Y$ es abierto, sí y sólo sí, $f^{-1}(U)\subseteq X$ es abierto; así, ser función cociente es más fuerte que ser continua.

En general, una función cociente no es una función abierta pero si lleva ciertos abiertos de $X$ en abiertos de $Y$: decimos que $A\subseteq X$ es saturado respecto a una función cociente $f$ si $$ A=f^{-1}(B)=\bigcup_{y\in B} f^{-1}(y), $$ para cierto $B\subseteq Y$. Es decir, un subconjunto $A$ es saturado si es la unión de las fibras $f^{-1}(y)$ de algún subconjunto de $Y$. En general, la saturación de $A\subseteq X$ es la unión $f^{-1}\circ f(A)=\bigcup_{y\in f(A)}f^{-1}(y)$ de todas las fibras que intersectan a $A$. De aquí, $A$ saturado $\sss\; A=f^{-1}\circ f(A)$.

Por lo anterior, una función cociente es aquella función continua que lleva subconjuntos saturados abiertos de $X$ en abiertos de $Y$ (o saturados cerrados en cerrados de $Y$); véase Møller, Proposición 2.77.

Dos tipos de funciones cociente resultarán de importancia en lo que sigue: una función cociente es abierta (resp. cerrada) si es función abierta (resp. cerrada).

$\dem$ Resta ver que $f$ satisface la tercera propiedad en la definición de función cociente. Como $f$ es sobreyectiva, para $A\subset Y$ se tiene $f\circ f^{-1}(A)=A$. Así, si $f$ es abierta y $A\subset Y$ cumple que $f^{-1}(A)$ es abierto se sigue que $f(f^{-1}(A))=A$ es abierto, lo cual indica que $f$ es función cociente. De igual manera si $f$ es cerrada.$\findem$

Cabe mencionar que existen funciones cocientes que no son ni abiertas ni cerradas, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplos:

• Tomemos $X=[0,1]\cup [2,3], Y=[0,2]$ y definamos $f:X\ra Y$ mediante $$ f(x)=\begin{cases}x,&x\in [0,1]\\x-1,& x\in [2,3] \end{cases} $$ Notemos que $f$ es continua, sobreyectiva y cerrada y por lo tanto una función cociente. Por otro lado, notemos que el abierto $[0,1]\subset X$ no tiene imagen abierta en $Y$; asi que $f$ no es abierta.
• Sabemos que la proyección $\br\times \br\ra \br$ en la primera coordenada es una función continua, sobreyectiva y abierta; así, es una función cociente. Por otro lado, sabemos que el subconjunto $$ C=\{(x,y)\in \br^2 \barra xy=1 \} $$ es cerrado pero su imagen, dada por $=\br\baca \{0\}$, no es un cerrado de $\br$.
• Consideremos $$ f:[0,2\pi]\lra S^1, \qquad t\longmapsto (\cos t, \sin t) $$ y notemos que es sobreyectiva y continua. Como su dominio es compacto y su contradominio es Hausdorff, la función es cerrada. De aquí que $f$ es función cociente cerrada. Finalmente notemos que no es abierta pues el abierto $[0,1)$ no tiene imagen abierta en $S^1$.

Para $f:X\ra Y$ función cociente se tienen las siguientes propiedades directamente de la definición:

• La función identidad $1:X\ra X$ es función cociente.
• Si $g:Y\ra Z$ es función cociente, $g\circ f$ también lo es.
• Si $h:Y\ra Z$ es función continua, y $h\circ f:X\ra Z$ es función cociente entonces $h$ es función cociente.
• Si $f:X\ra Y,g:Z\ra W$ son funciones cociente abiertas, entonces $$ f\times g:X\times Z\lra Y\times W $$ es también función cociente abierta.

$\dem$ $\ida$ Es claro. $\vuelta$ Si $g\circ f$ es continua, dado $U\subset Z$ abierto $$ (g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U)) $$ es abierto; de donde $g^{-1}(U)\subset Y$ es abierto y $g$ es continua.$\findem$

Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente propiedad de las funciones cocientes.

$\dem$ Como $g$ es constante en $f^{-1}(y)$ se tiene que si $f(x)=f(y)$ entonces $g(x)=g(y)$. Equivalentemente, para $y\in Y$ el conjunto $g(f^{-1}(y))$ es unipuntual, digamos $g(f^{-1}(y))=\{ z\}$. Definamos $h(y)=z$ y notemos que para todo $x\in X$ se tiene $(h\circ f)(x)=g(x)$. La continuidad de $h$ se sigue del teorema anterior. $\findem$

La propiedad universal anterior afirma que toda función continua $g:X\ra Z$ factoriza a través de una función cociente: $g=h\circ f$.

Ejemplo

• Consideremos $D^n$ disco unitario y $S^n$ esfera unitaria como sigue $$ D^n=\{\ol{x}\in \br^n\barra ||\ol{x}||^2\leq 1\},\;\; S^n=\{(\ol{x},y)\in \br^n\times \br\barra ||x||^2+y^2=1 \} $$ para definir $f:D^n\ra S^n$ mediante $$ f(\ol{x})=(2\ol{x}\sqrt{1-||\ol{x}||^2},\:2||\ol{x}||^2-1) $$ Notemos que $f$ es continua y sobreyectiva. Además, dado que el dominio es compacto y el contradominio es Hausdorff $f$ es una función cociente cerrada. Por otro lado, observemos que la restricción $$ \{\ol{x}\in D^n\barra ||\ol{x}|| < 1\}\lra \{(\ol{x},y)\in S^n\barra y <1\} $$ es un homeomorfismo. Finalmente notemos que $f(\partial D^n)=(0,1)\in S^n$ por lo que $f$ envía la frontera del disco en un punto de la esfera.$\bt$

4.2 Detour particiones

---

Los ejemplos más importantes de espacios cociente surgen a partir de relaciones de equivalencia en espacios. Por esta razón daremos un (breve) repaso a la teoría de relaciones en conjuntos.

Una relación entre dos conjuntos $X,Y$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $X\times Y$. Dada una relación $R$, se dice que $x$ está relacionado con $y$ si $(x,y)\in R$; en este caso se usa la notación $xRy$ o también $x\sim y$, la cual resulta más común.

Una relación en $X$ es llamada relación de equivalencia si las siguientes propiedades se satisfacen para cualesquiera elementos $a,b,c\in X$:

• $a\sim a$
• si $a\sim b$ entonces $b\sim a$
• si $a\sim b$ y $b\sim c$, entonces $a\sim c$.

Sea $\sim$ relación de equivalencia en $X$. Definimos la clase de equivalencia de $x\in X$ como el conjunto de aquellos elementos equivalentes a $x$ a través de la relación $\sim$; es decir, $$ [x]:=\{y\in X \;|\; y\sim x\} $$ Algunas observaciones:

• Si existe $z\in [x]\cap [y]$, para $x\neq y\in X$, entonces $z\sim x, z\sim y$; por transitividad se obtiene que $x\sim y$, así que $[x]=[y]$. Es decir, las clases de equivalencia son conjuntos disjuntos.
• Toda clase de equivalencia es un conjunto no vacío pues $x\in[x]$, para todo $x\in X$. Más aún, el conjunto $X$ es unión de todas las clases de equivalencia.

Una partición de un conjunto $X$ consiste de una colección de subconjuntos de $X$ que son disjuntos y cuya unión es todo $X$. Notemos que por las observaciones de arriba toda relación de equivalencia $\sim$ induce una partición a través de las clases de equivalencia.

Consideremos $\mcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}$ una partición para el conjunto $X$ y definamos la relación $$ x\sim y \sss \exists U_i\in \mcal{U}, \; x,y\in U_i $$ Por la definición de partición obtenemos que $\sim$ es una relación de equivalencia; es decir, toda partición define una relación de equivalencia.

Por lo mencionado arriba se observa que los conceptos de partición y de relación de equivalencia son practicamente lo mismo.

Sean $X$ conjunto y $\mcal{U}$ una partición de $X$. Llamamos conjunto cociente al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de la partición $\mcal{U}$; denotamos a este conjunto como $X/\mcal{U}$ y puede pensarse como el conjunto obtenido al "encoger" cada clase de equivalencia a un punto.

Observemos que por lo descrito arriba el conjunto $X/\mcal{U}$ puede ser llamado también el conjunto de clases de equivalencia, para la relación de equivalencia determinada por la partición $\mcal{U}$.

Ejemplos

• Consideremos el conjunto $X$ dado por intervalo cerrado $[0,1]$ en la recta real. Consideramos la partición $\mcal{U}$ de $X$ dada por los subintervalos $$ U_1=[0,1/3],\;U_2=(1/3,2/3],\;U_3=(2/3,1] $$ En este caso el conjunto cociente consiste de tres elementos $X/\mcal{U}=\{U_1,U_2,U_3\}$ y puede ser considerado como un espacio topológico discreto.
• Definamos en los enteros $\bz$: decimos que $k,m$ son congruentes módulo $n$, lo cual se representa como $k \equiv m \Mod{n}$, si $k-m=np$, para algún $p\in \bz$. Observemos que esto es una relación de equivalencia y tiene $n$ clases de equivalencia: $$ [0],[1],\ldots, [n-1] $$ El conjunto de dichas clase es denotado por $\bz_n$ y es llamado el conjunto de enteros módulo $n$. De hecho, al definir una operación de suma mediante $[x]+[y]:= [x+y]$ se obtiene que $\bz_n$ es también un grupo. $\bt$

4.3 Topología cociente

Although the quotient topology is easily defined...
it takes some time to work with it.

— Tammo tom Dieck, 2008

---

Sean $X$ espacio topológico y $Y$ conjunto. Dada una función sobreyectiva $f:X\ra Y$ definimos: $$ U\subseteq Y\; \mbox{abierto}\; \sss f^{-1}(U)\subseteq X \; \mbox{abierto} $$

$\dem$ Basta ver que, dado que $f$ es sobreyectiva, se tiene:

• $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset,\; f^{-1}(Y)=X$.
• $f^{-1}\left( \bigcup U_i\right)=\bigcup f^{-1}(U_i)$,
• $f^{-1}\left( \bigcap U_i\right)=\bigcap f^{-1}(U_i)$ (cantidad finita) $\findem$

La topología es llamada la topología cociente en $Y$ respecto a $f$ y es la única topología en $Y$ que hace que $f$ sea una función cociente y la más fina que hace a $f$ continua. Con esto además podemos definir: una función continua y sobreyectiva $f:X\ra Y$ es función cociente si $Y$ tiene la topología cociente

Ejemplos

• Tomemos $X=\br, Y=\{a,b,c\}$ y definamos $$ f:X\ra Y,\;\;f(x)=\begin{cases}a,&x>0\\b,&x < 0\\c,&x=0 \end{cases} $$ Observemos que la colección $$ \{\emptyset, \{a,b,c\}, \{a\},\{b\}, \{a,b\} \} $$ son los abiertos de la topología cociente inducida por $f$.
• (Topología Digital) Tomemos $\br$ con la topología usual y definamos $f:\br\ra \bz$ mediante $$ f(x)=\begin{cases}x,&x\in \bz\\n,&x\in (n-1,n+1),\;n\;\mbox{entero impar}\end{cases} $$ Notemos que $f$ es la identidad en $\bz$ y $f(x)$ es el entero impar más cercano a $x$. La topología cociente inducida por $f$ es llamada la Topología Digital de los enteros $\bz$ y tiene por abiertos $\{n\}$, si $n$ es impar; para $n$ par el abierto más pequeño que lo contiene es $\{n-1,n,n+1\}$; véase el Ejemplo en Capitulo 1, sección 1.$\bt$

Existe un caso particular donde la topología cociente surge de manera frecuente: dada una relación de equivalencia en $X$ denotemos por $X/\simi$ al conjunto de clases equivalencia. Definimos una función mediante $$ \pi:X\lra X/\simi,\;\;\;\;x\longmapsto [x] $$ Es decir, la función $\pi$ envía a cada elemento $x\in X$ a su correspondiente clase de equivalencia. Observemos que con esta función en general no es inyectiva pues al tener $x,y \in X$ tales que $x\sim y$, con $x\neq y$, se cumple que $$ \pi(x)=[x]=[y]=\pi(y). $$ Más aún, todos los elementos relacionados con $x$ tienen la misma imagen que $x$; revisaremos esta propiedad en la próximas secciones con ejemplos concretos.

Por lo que se mencionó acerca de particiones y relaciones de equivalencia podemos observar que la función $\pi:X\lra X/\simi$ es sobreyectiva. Al equipar a $X/\simi$ de la topología cociente lo llamamos el espacio cociente de $X$ por la relación $\simi$.

Como consecuencia directa de la Propiedad Universal de Cocientes se obtiene el siguiente resultado

Aquí ser constante en clases de equivalencia significa que si $x\simi y$ entonces $f(x)=f(y)$. Otra manera de establecer esta propiedad es diciendo que $f$ factoriza o pasa al cociente de manera única a través del cociente $X/\simi$.

Ejemplo:

• Sea $f:X\ra Y$ función continua y definamos $$ x\simi_f y \sss\;\;f(x)=f(y) $$ Por el teorema anterior existe $\tilde{f}:X/\!\!\simi_f\ra Y$ continua e inyectiva; como se mencionó anteriormente, decimos que $f$ factoriza al cociente definiendo a $\tilde{f}$. Más aún, notemos que $f$ es función cociente $\sss$ $\tilde{f}$ es homeomorfismo. Este resultado se usará adelante para identificar cocientes a través de ciertas relaciones de equivalencia.$\bt$

Revisaremos ahora la relación que hay entre topología cociente y los conceptos introducidos previamente. Como toda función cociente es continua se sigue que

• El cociente de un espacio arco-conexo es también arco-conexo; en particular se cumple para un espacio conexo.
• El cociente de un espacio compacto es también compacto

Por otro lado, si $f:X\ra Y$ es función cociente y $A\subseteq X$, entonces la función obtenida por restricción $q:A\ra f(A)$ no necesariamente es función cociente, para que eso ocurra deben pedirse condiciones sobre $A$ (como ser saturado abierto/cerrado) o sobre $f$ (como ser abierta/cerrada).

En general, la propiedad de ser Hausdorff no se comporta bien bajo cocientes, esto es, existen espacios Hausdorff en los que ciertos cocientes resultan espacios no Hausdorff; véase Ejemplo (to add). El problema de hallar condiciones para garantizar que el cociente sea espacio Hausdorff es difícil pero en la presencia de compacidad se simplifica considerablemente:

$\dem$ $(1)\ida(3)$ Recordemos que $Y$ es Hausdorff $\sss$ $\triangle$ es cerrado y, dado que $K=(f\times f)^{-1}(\triangle)$ para con $f\times f:X\times X\ra Y\times Y$, el resultado se sigue.

$(3)\ida(2)$ Tomemos $A\subseteq X$ cerrado y recordemos (Teo. Kuratowski) que al ser $X$ compacto, las proyecciones $p_1,p_2:X\times X\ra X$ son cerradas por lo que $p_1(K), p_2(K) $ son cerrados. Por otro lado notemos $$ K\cap p_2^{-1}(A)=\{(x_1,x_2)\in X\times A \barra f(x_1)=f(x_2) \} $$ y al proyectar me quedo con $x\in X,\: f(x)\in f(A)\sss x\in f^{-1}(f(A))$; de donde $f^{-1}(f(A))=p_1(K\cap p_2^{-1}(A)) $, por lo que $f^{-1}(f(A))$ es cerrado y $f$ es función cociente cerrada.

$(2)\ida(1)$ Consideremos $a\neq b\in Y$. Dado que $f$ es sobreyectiva, cerrada y los puntos en $X$ son cerrados tenemos que $a,b$ son cerrados; así $$ A=f^{-1}(a),\;\;B=f^{-1}(b) $$ son compactos y disjuntos. Como $X$ es Hausdorff, el Teorema de Wallace garantiza la existencia de abiertos $U,V$ tales que $$ A\times B\subseteq U\times V\subseteq (X\times X)\baca \triangle, $$ es decir, $A\subseteq U,B\subseteq V,\; U\cap V=\emptyset\sss(X\baca U)\cup (X\baca V)=X$. Finalmente, como $f$ es cerrada, $$ U'=Y\baca f(X\baca U),\;\;\;V'=Y\baca f(X\baca V) $$ son vecindades abiertas y disjuntas de $a,b$. $\findem$

A continuación daremos algunos criterios para ser Hausdorff cuando el cociente se obtiene mediante una relación de equivalencia $\sim$. La gráfica de la relación $\sim$ como el subconjunto de $X\times X$ determinado por aquellas parejas $x\sim y$: $$ \Gamma_\sim=\{(x,y)\in X\times X\barra x\sim y \} $$

$\dem$ Recordemos (Lemma en Capítulo 1, sección 6) que $X$ es Hausdorff $\sss\;\triangle$ es cerrado. Observemos que $\Gamma_\sim$ es la imagen inversa del subespacio diagonal de $X/\sim$ bajo la aplicación $$ \pi\times \pi:X\times X\lra (X/\sim) \times (X/\sim) $$ Como $X/\sim$ es Hausdorff, entonces $\Gamma_\sim$ es cerrado. $\findem$

Otro criterio en términos de los saturados de la función cociente; véase Proposición 2.5 en Félix & Tanré, 2010:

Como consecuencia del resultado anterior, se tiene una condición suficiente para que el cociente sea Hausdorff

El cociente $X/A$ en el resultado anterior será definido en la siguiente sección.

4.4 Colapsos e identificaciones

---

Mostramos a continuación algunos espacios cociente.

Ejemplos:

• Tomemos $\br$ con topología euclidiana y definamos $$ x\simi y\;\sss\;\;x=y\;\; \mbox{ó}\;\;|x|=|y|>1 $$ Notemos que hay dos tipos de clases de equivalencia: $$ [x]=\begin{cases} \{x\},& -1\leq |x|\leq 1 \\ \{x,-x\},& |x|>1 \end{cases} $$ De esto podemos observar que en el espacio cociente se identifican los puntos $x,-x$ para $|x|>1$ por lo que podemos representar el cociente mediante

  

  La función cociente $\pi:\br\ra \br/\simi$ cumple que $$ \pi(1)=[1]=\{1\}\neq \{-1\}=[-1]=\pi(-1), $$ donde $1,-1$ no pueden tener vecindades disjuntas. es decir, $\br/\simi$ es un espacio cociente no Hausdorff, aunque $X$ lo sea.
• Tomemos el subespacio de $\br^2$ dado por $X=[0,1]\times [0,1]$ y consideramos la partición $$ \begin{cases} \{(x, y)\},&0 < x,y<1\\ \{(x,0),\;(x,1)\},&0<x<1\\ \{(0,y),\;(1,y)\},&0<y<1\\ \{(0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1)\}& \end{cases} $$ Las clases de equivalencia se muestran en la imagen.

  

• Sea $X=D^2$ disco unitario cerrado en $\br^2$ y definamos la relación $$ \begin{cases}(x,y)\simi (x,y),& ||(x,y)||<1\\ (x,y)\simi (z,w),& ||(x,y)||=||(z,w)||=1\end{cases} $$ Así, $X/\!\!\simi$ consiste de los conjuntos unipuntuales $\{(x,y)\barra ||(x,y)||<1 \}$ y del conjunto $\partial D^2=S^1$.

  

  El cociente $X/\simi$ es homeomorfo a $S^2$.$\bt$

4.4.1 Colapsos

Tomemos $A\subseteq X$ y definamos $$ x\simi y \;\;\sss\;\;\;\begin{cases}x=y,&x,y\notin A\\ x,y\in A \end{cases} $$ Observemos que $\simi$ es una relación de equivalencia y que se obtiene una partición de $X$ consistente del conjunto $A$ y los unipuntuales $\{ x\}$, para $x\notin A$. El espacio cociente por esta relación se denota por $X/A$ y es común decir que el cociente $X/A$ se obtiene mediante el colapso del subespacio $A$.

Ejemplo:

• La función $$ f:S^{n-1}\times [0,1]\ra D^n,\;f(x,t)=xt $$ es continua y sobreyectiva. Como el dominio es compacto y el contradominio es Hausdorff, la función $f$ es cerrada y por tanto función cociente. Notemos $$ f(x)=f(y)\sss x=y\;\; \mbox{ó}\;\; x,y\in S^{n-1}\times \{0\}, $$ es decir, $f$ es constante en los puntos de $S^{n-1}\times \{0\}$. Por el Ejemplo de la sección 4.3 la función anterior induce el homeomorfismo $$ S^{n-1}\times [0,1]/S^{n-1}\times \{0\} \stac{\cong} D^n $$ La figura de abajo muestra el homeomorfismo anterior para el caso $n=2$:

  

4.4.2 Identificaciones

Consideremos subespacios $A,B\subseteq X$ y $h:A\ra B$ homeomorfismo entre ellos y definimos la siguiente relación en $X$ $$ x\simi y\;\;\sss\;\;\;\begin{cases}x=y&\mbox{ó}\\h(x)=y&\mbox{ó} \\h^{-1}(x)=y \end{cases} $$ Es decir, la relación anterior identifica los puntos $a\in A$ con los puntos $h(a)\in B$ y viceversa. El espacio cociente obtenido con esta relación es el resultado de identificar a $A$ con $B$ a través del homeomorfismo $h$; equivalentemente, se dice que estamos pegando a $A$ y $B$.

Ejemplos:

• Tomemos el cuadrado $X=[0,1]\times [0,1]$ y consideremos los subespacios $A,B$ dados por las paredes laterales de $X$: $$ A=\{0\}\times [0,1],\;B=\{1\}\times [0,1] $$ Consideremos la identificación de $A$ y $B$ a través del homeomorfismo $h:A\ra B$:
  1. Para $h(0,t)=(1,t)$ el cociente es un cilindro

     

  2. Para $h(0,t)=(1,1-t)$ el espacio cociente es la banda de Moebius.

     

• Sea $X=[0,1]\times [0,1]$ y consideremos $$ A=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1]\times \{0\}, $$ $$ B=\{1\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{1\} $$ Definamos $h:A\ra B,\;(0,t)\mapsto (1,t), (t,0)\mapsto (t,1)$. El resultado de pegar $A,B$ a través de $h$ consiste en pegar el lado inferior con el superior y el lado derecho con el izquierdo; el resultado es el toro $T^2$.
• (Botella de Klein) Al igual que en el ejemplo anterior, tomemos $X=[0,1]\times [0,1]$ y consideremos $$ A=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1]\times \{0\}, $$ $$ B=\{1\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{1\} $$ Definamos $h:A\ra B,\;(0,t)\mapsto (1,t), (t,0)\mapsto (1-t,1)$. El resultado de pegar $A,B$ a través de $h$, es la botella de Klein.$\bt$
  
  ❮ Prev Sig ❯

  1 2 3 4 5 6

4.5 Acciones en espacios

---

En esta sección hablaremos del espacio cociente que surge al considerar la interacción de un grupo con un espacio topológico.

Recordemos que el conjunto $\topp(X)$ de homeomorfismos de un espacio $X$ forma un grupo con la operación de composición: $$ g,f\in \topp(X),\;\; f\circ g\in \topp(X) $$ Observemos que dado un elemento $f\in \topp(X)$ la evaluación $f(x)$ está bien definida para cualquier $x\in X$.

Ejemplo:

• Para la recta real $\br$ consideramos la función dada por una traslación por $1$ \begin{equation}\label{tra1} t_1:\br \to \br,\qquad t_1(x):=x+1 \end{equation} Observemos que $t_1$ es función continua y tiene por inversa a $t_{-1}(x):=x-1$, que también es continua; de esto obtenemos que $t_1\in \topp(\br)$.
  La elección de $1$ en la función (\ref{tra1}) fue totalmente arbitraria pues es posible elegir cualquier entero $p$ para definir $$ t_p:\br \to \br,\qquad t_p(x):=x+p $$ y obtener un elemento de $\topp(\br)$.$\bt$

El ejemplo anterior muestra que $\topp(\br)$ es "grande" pues se tiene una inclusión de la forma $$ \{\ldots,t_{-2},t_{-1},t_0,t_1,t_2,\ldots\}\subseteq \topp(\br) $$

En general, el grupo de homeomorfismos $\topp(X)$ de un espacio puede tener una cantidad grande de elementos, por lo que resulta conveniente introducir alguna equivalencia entre ellos para dividirlo en clases de equivalencia. Una de ellas es la homotopía, así que el estudio de $\topp(X)$ puede realizarse a través de clases de homotopía de homeomorfismos.

Cuando se especifica un subgrupo $G\subseteq \topp(X)$ decimos que dicho grupo {\bf actúa en $X$} en el siguiente sentido de la siguiente relación de equivalencia: $ x\sim y\:\sss\: \exists g\in G, \; y=g(x)$. Es decir, los elementos de $G$ "mueven" a los puntos de $X$.

Definimos la $G$-órbita de $x\in X$ como su clase de equivalencia bajo la relación anterior; es decir, $$ G_x=\{g(x)\barra g\in G \} $$ La $G$-órbita para $A\subseteq X$ es la unión de las órbitas de sus elementos $$ G_A=\bigcup_{x\in A}G_x $$ El conjunto de órbitas (de elementos de $X$) forma una partición de $X$, denotada por $X/G$ y llamado el espacio de órbitas de la acción de $G$. Tenemos entonces una función cociente canónica $$ \pi:X\lra X/G,\;\;x\longmapsto G_x, $$ con $\pi^{-1}(\pi(x))=G_x$, como subconjunto de $X$. Con la topología cociente los abiertos en $X/G$ son órbitas de abiertos en $X$: $$ U\subseteq X \;\;\longmapsto G_U=\bigcup_{x\in U} G_x $$

$\dem$ Por definición, para un abierto $U\subseteq X$ se tiene $$ \pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{g\in G} g(U) $$ es unión de abiertos por ser $g$ homeomorfismos; de aquí, $\pi(U)$ es abierto en $X/G$. Si $G$ es finito y $C\subseteq X$ es cerrado, entonces $\pi^{-1}(\pi(C))=G_C$ como arriba es unión finita de cerrados y por tanto $\pi(C)$ es cerrado.$\findem$

Como se mencionó antes, resulta importante analizar cuáles son las propiedades topológicas que se heredan a espacios cocientes. En general, el cociente de un espacio Hausdorff no es Hausdorff:

Ejemplo:

• Recordemos que $G=GL_n(\br)$ es el grupo de matrices con $\det(A)\neq 0$; equivalentemente $G$ consiste de transformaciones lineales invertibles $\br^n\to \br^n$ por lo que tenemos que $G\subset \topp(\br^n)$. Dados dos vectores $\ol{x},\ol{y}\in \br^n$ no cero, observemos que la ecuación $$ A\ol{x}=\ol{y} $$ siempre tiene solución (no trivial) pues $\det(A)\neq 0$. Esto muestra que el cociente $\br^n/G$ consiste de dos clases, lo que implica que no es Hausdorff. $\bt$

Aún así se tiene el siguiente criterio para detectar cocientes Hausdorff:

$\dem$ Sabemos que la función cociente $X\ra X/G$ es abierta y sobreyectiva por lo que el producto $$ p:X\times X\lra X/G\times X/G $$ es también abierta y sobreyectiva; en particular, es una función cociente. Notemos que $p(x,y)\in \triangle_{X/G}\sss x,y$ pertenecen a la misma órbita; es decir, $(x,y)\in K$ por lo que $K=p^{-1}(\triangle_{X/G})$. Finalmente, como $p$ es función cociente, $\triangle_{X/G}$ es cerrado $\sss$ $K$ es cerrado.$\findem$

$\dem$ Hagamos $\{g_1,\ldots, g_n\}=g(A)\cap A$. Dados $p,q\in X/G$ elementos distintos escojamos $x,y\in X$ tales que $\pi(x)=p,\pi(y)=q$; es decir, escogemos elementos en las órbitas de $p,q$. Como $X$ es Hausdorff podemos considerar $U_i,V_i\subseteq X$ tales que $$ x\in U_i,\;\;g_i\cdot y\in V_i,\;\;\;U_i\cap V_i=\emptyset,\;\;i=1,2,\ldots,n $$ Tomemos los abiertos $$ U=A\cap \left(\bigcap_{i=1}^n U_i\right),\qquad V=A\cap \left(\bigcap_{i=1}^n g_i^{-1}(V_i)\right) $$
Afirm. $\forall g\in G,\; U\cap g(V)=\emptyset$.
$\bullet\;$ Si $g(A)\cap A=\emptyset$ entonces, puesto que $U,V\subseteq A$, se sigue que $U\cap g(V)\subseteq A\cap g(A)=\emptyset$ y la afirmación es cierta.
$\bullet\;$ Si $g=g_i$, para algún $i$, entonces del hecho de que $U\subseteq U_i$ y que $V\subseteq g^{-1}(V_i)$ se tiene que $$ U\cap g(V)\subseteq U_i\cap V_i=\emptyset. $$ Finalmente, para probar que $x\in U, y\in V$ tienen vecindades disjuntas probaremos que $$ \big(\bigcup_{g\in G}g(U) \big)\cap \big(\bigcup_{h\in G}h(V) \big)=\bigcup_{g,h\in G}\big(g(U)\cap h(V)\big)=\emptyset $$ Pero si $g(U)\cap h(V)\neq \emptyset$, para ciertos $g,h\in G$ entonces tedríamos que $$ U\cap g^{-1}h(V)=g^{-1}\big(g(U)\cap h(V) \big)\neq \emptyset $$ lo cual no puede ser por lo que se acaba de probar arriba. $\findem$

Ejemplo:

• Consideremos $\topp(\br^n)$ y tomemos el subgrupo $G$ que consiste de translaciones por vectores de entradas dadas por números enteros: $$ g\in G,\;\;g\cdot \ol{x}=\ol{x}+\ol{a}, \;\;\ol{a}\in \bz^n $$ Para $A=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \br^n\barra |x_i|<1, i=1,2,\ldots, n\}$ la función cociente $A\ra X/G$ es sobreyectiva. Además, para $\ol{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in \bz^n$ se tiene que $A\cap (A+\ol{a})\neq \emptyset$ si, y sólo si $\ol{a}=(a_i)$ con $|a_i|\leq 1$; es decir, $\ol{a}$ tiene por coordenadas combinaciones de 0's, 1's y -1's. Por el resultado anterior se tiene que $\br^n/G$ es Hausdorff. $\bt $

Las condiciones del resultado anterior se satisfacen trivialmente cuando el grupo $G$ que actúa en $X$ es finito.

A continuación otro criterio para determinar si el cociente es Hausdorff.

En particular, si $G$ es grupo topológico compacto y Hausdorff y $H\leq G$ es cerrado, el cociente $G/H$ es Hausdorff y compacto.

Decimos que la acción de $G$ en $X$ es transitiva si para cualesquiera $x,y\in X$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x=y$. Notemos que si la acción es transitiva, entonces $X/G$ consiste de un único punto. Por otro lado, el grupo estabilizador de $X$ es el subgrupo $$ G_x=\{g\in G\barra g\cdot x=x\} $$ La acción de $G$ se dice libre si $G_x=\{e\},\;\forall x\in X$.

$\dem$ Para $x\in X$ fijo consideremos la función $$ \varphi_x:G\lra X,\;\; g\mapsto g\cdot x $$ Notemos que $g,g'\in G$ son equivalentes $\sss\; g^{-1}g'\in G_x$; es decir, $(g^{-1}g')\cdot x=x$, de donde $g\cdot x=g'\cdot x$. Con esto $\varphi$ pasa al cociente por $G_x$: $$ \ol{\varphi}_x:G/Stab(x)\lra X $$ Notemos que $\ol{\varphi}_x$ es inyectiva (por construcción) y como la acción es transitiva, es también sobreyectiva. Como $G/Stab(x)$ es compacto y $X$ Hausdorff, $\ol{\varphi}_x$ es homeomorfismo (Corolario en section 2.2.2). $\findem$

Ejemplos:

• Recordemos que $O_n(\br)\acc S^{n-1}$ mediante multiplicación matricial, y lo hace, además, de manera transitiva pues para $\ol{u}\in S^{n-1}$ cualquiera podemos hallar una base ortonormal $\{\ol{u}_1,\ol{u}_2,\ldots,\ol{u}_n=\ol{u}\}$ cuyos vectores forman las columnas de una matriz ortogonal $A\in O_n(\br)$ tal que $Ae_n=\ol{u}$.
  Por otro lado, notemos que si $\ol{v}=e_n\in S^{n-1}$ es un vector de la base canónica, entonces $Ae_n=e_n\sss$ la última columna de $A$ es precisamente $e_n$ y el resto de las columnas de $A$ son ortogonales a $e_n$. Dado que las columnas de $A$ forman un conjunto ortonormal de vectores, cada una de las primeras $(n-1)$ columnas de $A$ tienen la forma $$ \left[\begin{array}{c} a_{1_k}\\a_{2k}\\\vdots\\a_{n-1k}\\0\end{array}\right] $$ donde la matriz $$ \left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n-1} \\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n-1}\\\cdots&\cdots&\cdots&\vdots\\a_{n-11}&a_{n-12}&\cdots&a_{n-1n-1} \end{array} \right] $$ es ortogonal y por lo tanto pertenece a $O_{n-1}(\br)$; de aqui se tiene que $Stab(e_n)=O_{n-1}(\br)$. Haciendo la identificación $$ O(n-1)\ni A\longmapsto \left(\begin{array}{cc}A&0\\0&1\end{array} \right)\in O(n) $$ se tiene que $Stab(e_n)=O_{n-1}(\br)\subset O_n(\br)$. Por la proposición anterior se tiene $$ O_n(\br)/Stab(e_n)=O_n(\br)/O_{n-1}(\br)\cong S^{n-1} $$ y la función cociente se identifica con $O(n)\ra S^{n-1}$ que envia a cada matriz $A$ a su primer columna.
  Nota. Para el caso general se considera $\tilde{x}=(1/|x|)\ol{x}$ y se nota que $Stab(\tilde{x})=Stab(\ol{x})$.
• En el ejemplo anterior pudimos haber considerado $SO_{n-1}(\br)\acc S^{n-1}$ para obtener $$ SO_n(\br)/SO_{n-1}(\br)\cong S^{n-1}, $$ también sus análogos complejos: $$ O_n(\bc)/O_{n-1}(\bc)\cong S^{n-1}, $$ y cuaterniónicos $$ O_n(\mbox{H})/O_{n-1}(\mbox{H})\cong S^{4n-1}.\;\blacktriangleleft $$

4.6 Zoológico topológico

---

En esta sección mostramos algunos de los espacios (topológicos) que se obtienen con el concepto de espacio cociente.

4.6.1 Espacios proyectivos

Tomemos $\br^{n+1}\baca \{0\}$ consideremos el subgrupo $G\subseteq \topp(\br^n\baca \{0\})$ de las dilataciones $$ g\in G, \;g\cdot \ol{x}=\lambda \ol{x},\; \mbox{para algún}\; \lambda \in \br\baca \{0\} $$ Asi, para la acción de $G$ definimos $$ \ol{x}\sim \ol{y} \sss \ol{x}=\lambda \ol{y},\;\;\lambda \in \br\baca \{0\} $$ Dotado de la topologia cociente el cociente $(\br^{n+1}\baca \{0\})/ G$ es llamado el espacio proyectivo real de $\dim n$ y se denota por $\rp{n}$. La función cociente se define por $$ \pi:\br^{n+1}\baca \{0\} \lra \rp{n},\;\;(x_0,\ldots, x_n)\longmapsto [x_0,\ldots,x_n] $$

El espacio $\rp{n}$ puede obtenerse como cociente de $S^n$ como sigue: tomemos la inclusión $i:S^n\ra \br^{n+1}\baca \{0\}$ y consideramos la composición $\pi\circ i$ para obtener el diagrama:

donde $x\sim y \sss x=\pm y$ y $f$ es la función del Ejemplo de la sección 4.3.

Afirmamos que la función $f$ es un homeomorfismo. Para probar que $f^{-1}$ es continua definimos $r:\br^{n+1}\baca \{0\}\ra S^n$, $r(x)=x/|x|$ y consideramos el diagrama

donde $\pi'\circ r$ es continua pues es composición de continuas. Al igual que antes, $f^{-1}$ es continua por el Ejemplo de la sección 4.3.

Una forma equivalente de definir a $\rp{n}$ es como sigue: tomemos $G\subseteq \topp(S^n)$ que consiste de $1_{S^n}, a$, donde $a(x)=-x$. Observemos que el cociente $S^n/G\cong S^n/\sim$, la identificación antipodal. Por el Corolario \ref{fini} se sigue que $\rp{n}$ es Hausdorff. También es posible definir $\rp{n}$ como cociente del disco unitario. Definamos en $D^2$ la relación de equivalencia $$ x\sim y \sss x=y\;\;\mbox{ó}\;\;x=-y $$ y consideremos $X:=D^2/\sim$.

$\dem$ Consideremos el hemisferio norte de $S^2$ $$ S^2_+=\{(x,y,z)\in \br^3 \barra x^2+y^2+z^2=1,\; z\geq 0\} $$ y notemos que $D^2\cong S^2_+$ mediante $(x,y,z)\mapsto (x,y)$ con inversa $(x,y)\mapsto (x,y, \sqrt{1-(x^2+y^2)})$. Con esto tenemos $X\cong S^2_+/\sim$, con $(x,y,0)\sim (-x,-y,0)$. Consideremos las funciones

• $i:S^2_+\lra S^2$ (inclusión)
• $\pi:S^2\lra \rp{2}$ (f. cociente)
• $p:S^2_+\lra X$

que forman el siguiente diagrama conmutativo:

Observemos que $j$ es función continua y biyectiva; además, como $X$ es compacto y $\rp{2}$ es Hausdorff, se sigue que $j$ es homeomorfismo (ver Corolario en section 2.2.2). $\findem$

En la definición de $\rp{n}$ pudimos haber usado el esapcio $\bc$ en vez de $\br$ para obtener la versión compleja del espacio proyectivo $\rp{n}$: definamos en $\bc^{n+1}\baca \{0\}$ la relación de equivalencia $$ x\sim y \sss x=\lambda y,\; \mbox{para} \; \lambda\in \bc\baca \{0\} $$ De manera análoga, dada la esfera $S^{2n+1}\subset \bc^{n+1}$, donde $$ S^{2n+1}=\{ z\in \bc^{n+1} \barra ||z||=1 \} $$ se tiene que $\cp{n}=S^{2n+1}/\sim$. Asi, se tiene una función cociente $S^{2n+1}\ra \cp{n}$.

$\dem$ Como las funciones cocientes $$ S^n\lra \rp{n},\;\;S^{2n+1}\lra \cp{n} $$ son continuas y sobreyectivas y como las esferas son compactas y conexas, los espacios $\rp{n},\cp{n}$ lo son también. Resta probar que $\cp{n}$ es Hausdorff, lo cual se obtiene del Lemma en sección 4.5 notando que $\cp{n}$ puede ser identificado con el cociente de $S^{2n+1}$ por la acción de $S^1$.$\findem$

Ejemplo:

• ($\rp{1}\cong S^1$) Tomemos $f:S^1\ra S^1, z\mapsto z^2$ y notemos que $f(z)=f(-z)$. Asi, tenemos una función continua $\til{f}$ que hace al siguiente diagrama conmutativo:

  

  
  Por el Teorema anterior sabemos que $\rp{1}$ es compacto y como $S^1$ es Hausdorff, aplicamos el Corolario en section 2.2.2 para obtener que $\til{f}$ es homeomorfismo.$\bt$

Otra descripción de $\rp{n}$, y en particular de $\rp{2}$, se analiza en el Ejemplo Espacios proyectivos donde se muestra una relación cercana entre $\rp{n-1}$ y $\rp{n}$. A continuación tratamos el caso $n=3.$

$\dem$ Recordemos que $\rp{3}\cong D^3/R$ y definamos $h:D^3\ra SO_3(\br)$ como sigue: sea $A_x$ la rotación con eje la linea $l_x$ del origen a $x$ en el ángulo $|x|\pi$ y definamos $$ h(x)=\begin{cases}I,& x=0\\A_x,&x\neq 0 \end{cases} $$ Observemos que la función es continua; probaremos que es sobreyectiva: dada $A$ rotación a lo largo de una linea $l_x$ (del origen a $x$) y de ángulo $\alpha$ definimos $$ \begin{cases} h\left(\frac{\alpha}{|x|\pi}x\right),&\alpha \leq \pi\\ \\ h\left(\frac{2\pi-\alpha}{|x|\pi}x\right),&\alpha \geq \pi \end{cases} $$ Notemos que en ambos casos la imagen es $A$. Además notemos que las rotaciones por un ángulo $\alpha=\pi$ son imagen de dos puntos antipodales mientras que las otras rotaciones son imagen de un solo punto. La función entonces pasa al cociente $D^3/R\ra SO_3(\br)$, que es un homeomorfismo pues $SO_3(\br)$ es compacto.$\findem$

Para el caso de los espacios proyectivos complejos tenemos el homeomorfismo $\cp{1}\cong S^2$ puede ser escrito de manera explíta: $$ [z_0,z_1]\longmapsto \left(\frac{|z_0|^2-|z_1|^2}{|z_0|^2+|z_1|^2}, \frac{\ol{z}_0z_1-\ol{z}_1z_0}{|z_0|^2+|z_1|^2}, \frac{\ol{z}_0z_1+\ol{z}_1z_0}{|z_0|^2+|z_1|^2}\right) $$

De lo anterior se tiene una función continua $$ f:S^3\lra S^2 $$ conocida el mapeo de Hopf. En teoría de homotopía esta función es importante pues se muestra que es (homotopicamente) no trivial y define una manera de mapear una esfera en otra de dimensión menor, algo que en primera instancia no parece ser posible. Finalmente, al ser $f$ no trivial, determina un elemento (no trivial) en el grupo de homotopía $\pi_3(S^2)$.

4.6.2 Espacios lente

Aunque mencionados previamente por W. Dyck, los espacios lente fueron estudiados a profundidad por H.Tietze quien publica en 1908 el primer tratado sobre ellos motivado por el problema de clasificación de variedades de dimensión $3$.

Sean $p,q$ primos relativos y consideremos:

• $r:$ rotación en $\br^3$ por $2\pi/p$ radianes en el sentido de las manecillas del reloj, a lo largo de una linea orientada de acuerdo a los ejes coordenados.
• $\sigma:$ simetría (ortogonal) respecto al ecuador plano $z=0$.

Definimos el espacio lente $L(p,q)$ como el cociente $D^3/\sim$, donde $\sim$ es la relación de equivalencia dada por $$ \begin{cases} x\sim x,&x\in int(D^3)\\ x\sim \sigma(r^q(x)),&x\in \partial D^3=S^2 \end{cases} $$

Es decir, la identificación se obtiene rotando el casquete superior en un ángulo $2\pi\frac{q}{p}$ (en el sentido de las manecillas del reloj) y después identificando los puntos que estén en el mismo meridiano, los cuales equidistan del ecuador: $(x,y,-z)\sim (r(x,y),z)$. Con esto un punto en el hemisferio abierto norte se identifica con exactamente un punto en el hemisferio abierto sur.

Nota. la condición de que $p,q$ sean primos relativos es necesaria pues se quiere que $\exp(2\pi( q/p)) x\neq x$.$\maltese$

En cuanto al ecuador: un punto en el ecuador se identifica con todos aquellos que se obtienen con una rotación de $2\pi q/p$. Los espacios lente son ejemplos de $3$-variedades compactas y conexas. Aquí algunos ejemplos de espacios lente (sin demostración):

• $L(1,0)\cong S^3$,
• $L(0,1)\cong S^1\times S^2$,
• $L(2,1)\cong \rp{3}$; en este caso la identificación de arriba es simplemente la identificación antipodal.

El espacio $L(p,q)$ también puede ser definido como el resultado de pegar dos toros sólidos a lo largo de sus fronteras, a lo que se le llama su descomposición de Heegard (aquí la descripción).

• En los 30's K. Reidemeister prueba que $$ L(p_1,q_1)\cong L(p_2,q_2) \sss\;\;q_2=q_1,\: p_2=\pm p_1^{\pm 1} (\mod q_1) $$
• Por otra parte, se tiene la siguiente clasificación {\bf homotópica} dada por J.H.C. Whitehead en los 40's: $$ L(p,q)\simeq L(r,s) \sss\;\;p=r,\: qs=\pm m^2(\mod p), $$ para algún $m$.

De este resultado se sigue que los espacios lente $L(7,1), L(7,2)$ son homotópicos pero no son homeomorfos.

4.6.3 Variedades de Grassmann

Las variedades Grassmanianas (o de Grassmann) generalizan la construcción del espacio proyectivo $\rp{n}$. Daremos su definición a través del siguiente objeto.

Recordemos que un $k$-marco ortogonal en $\br^n$ es una $k$-tupla de vectores de $\br^n$ que forman un conjunto ortonormal de $(\br^n)^k$. La colección de $k$-marcos ortogonales en $\br^n$ $$ V_{k,n}(\br)=\{ (a_1,a_2,\ldots,a_k)\in (\br^n)^k \barra \langle a_i,a_j\rangle=\delta_{ij}\} $$ es llamada la variedad de Stiefel $V_{k,n}(\br)$, cuya topología está heredada por la de $(\br^n)^k$ y por lo tanto es Hausdorff. Notemos que de la definición se tiene $V_{1,n}(\br)\cong S^{n-1}$.

Notemos que un $k$-marco es llevado a otro $k$-marco bajo una transformación ortogonal de $O_n(\br)$; además, dados dos $k$-marcos éstos difieren entre si por una transformación ortogonal. Esto prueba que $O_n(\br)$ actúa en $V_{k,n}(\br)$ de manera transitiva.

Tomemos $a=(a_1,\ldots, a_k)\in V_{k,n}(\br)$ y observemos que el estabilizador de $a$ consiste de aquellas matrices que dejan a $a$ fijo y por tanto sólo actúan en el espacio vectorial ortogonal al generado por $a$; así $O_{n-k}(\br)$ es el estabilizador de $a$ y por el Lema {estab} se tiene el homeomorfismo $$ V_{k,n}(\br)\cong O_n(\br)/O_{n-k}(\br). $$

De manera análoga, al restringir la acción a $SO_n(\br)$, se obtiene que $V_{k,n}(\br)\cong SO_n(\br)/SO_{n-k}(\br)$; de esto se obtiene el homeomorfismo del Ejemplo {esferacociente} $S^{n-1}\cong SO_n(\br)/SO_{n-1}(\br)$.

Denotemos por $G_k(\br^n)$ al conjunto de subespacios vectoriales de dim. $k$ en $\br^n$ y consideremos la función sobreyectiva $$ \pi:V_{k,n}(\br)\lra G_k(\br^n) $$ que envía un $k$-marco al espacio generado por él. El conjunto $G_k(\br^n)$ tiene estructura de espacio topológico inducida por $\pi$ función cociente; el resultado es llamado la variedad de Grassmann $G_k(\br^n)$. Observemos que para $k=1$ la función cociente $\pi$ coincide con la proyección $$ S^{n-1}\lra G_1(\br^n) $$ por lo que $G_1(\br^n)\cong \rp{n-1}$.

$\dem$ Bastará con probar que dos elementos de $G_k(\br^n)$ pueden ser separados por una función continua de valores reales: sea $a\in \br^n$ fijo y definamos $\varphi_a: G_k(\br^n)\ra \br$ mediante $$ (x_1,x_2,\ldots, x_k)\longmapsto \langle a,a\rangle- \langle a,x_1\rangle^2-\cdots -\langle a,x_k\rangle^2, $$ donde $x_1,x_2,\ldots, x_k$ es un $k$-marco ortonormal. Notemos que $\varphi_a$ representa (el cuadrado de) la distancia de $a$ al subespacio generado por $x_1,\ldots,x_k$; más aún, notemos que la composición

es una función continua, lo cual muestra que $\varphi_a$ es función continua.

Finalmente, sean $V_1,V_2\in G_k(\br^n)$ distintos y supongamos que $a\in V_1, a\notin V_2$. Entonces $\varphi_a(V_1)\neq \varphi_a(V_2)$ y podemos elegir dos vecindades disjuntas de esos valores. Las imágenes inversas de tales vecindades forman las vecindades disjuntas de $V_1,V_2$.$\findem$

El siguiente resultado muestra que $G_k(\br^n)$ se puede escribir como cociente de grupos de matrices

$\dem$ Tomemos $A\in O_n(\br)$ y denotemos por $\phi(A)$ al espacio vectorial generado por sus primeras $k$ columnas. Dicha asociación es compatible con el cociente y se tiene el siguiente diagrama

Afirm. $\ol{\phi}$ es homeomorfismo.
Notemos que si $\phi(A)=\phi(B)$ entonces las primeras $k$ columnas generan el mismo subespacio vectorial por lo que existe $P\in O_k(\br)\subset O_n(\br)$ tal que $A,BP$ tienen las mismas primeras $k$ columnas. Por otro lado, observemos que las restantes $n-k$ columnas de $A,B$ (y por ende de $BP$) generan el mismo subespacio $\phi(A)^\bot$. Como antes existe $Q\in O_{n-k}(\br)\subset O_n(\br)$ tal que $A=BPQ$. La inyectividad de $\ol{\phi}$ se sigue de que $A=BPQ$ con $PQ\in O_k(\br)\times O_{n-k}(\br)$. Como $\ol{\phi}$ es claramente sobreyectiva, se sigue que $\ol{\phi}$ es biyección continua con dominio compacto y codominio Hausdorff. Aplicando el Corolario en section 2.2.2 el resultado se sigue. $\findem$

$\dem$ Recordemos que la grassmanniana $G_k(\br^n)$ es homeomorfa al cociente $O_n(\br)/(O(n)\times O_{n-k}(\br))$ obtenido mediante el homeomorfismo que envía a una matriz al espacio vectorial determinado por sus primeras $k$ columnas. De manera similar se obtiene un homeomorfismo ahora considerando ahora las últimas $n-k$ columnas se obtiene $$ G_{n-k}(\br^n)\cong O_n(\br)/(O_k(\br)\times O_{n-k}(\br)) $$ El resultado se sigue por composición de los homeomorfismos -anteriores.$\findem$

Finalmente, mencionaremos que el espacio $G_k(\br^n)$ es variedad compacta y conexa de dimensión $k(n-k)$.

4.6.4 Espacios celulares

Sean $f:A\ra X,f':A\ra X'$ funciones continuas. Dada la unión $X\sqcup X'$ consideremos la relación $$ (X\sqcup X')/\sim,\;\mbox{donde}\;\; f(a)\sim f'(a) \sss a\in A $$ y denotamos $X\cup_AX'=(X\sqcup X')/\sim$. En términos geométricos, el espacio de arriba se obtiene al pegar los espacios $X,X'$ a lo largo del subespacio $A$. A pesar de que no es evidente en la notación, la construcción anterior depende de la función $f$.

Consideremos las funciones $j_X:X\ra X\cup_AX',\:j_{X'}:X\ra X\cup_AX'$ que mandan a cada $x\in X, x\in X'$ a su clase en el cociente. Notemos que $j_X,j_{X'}$ son continuas y además satisfacen $j_X\circ f=j_{X'}\circ f'$. Más aún, las funciones satisfacen la siguiente propiedad universal, consecuencia inmediata de la Prop. Univ. de la Top. Cociente: para cualesquiera funciones $\varphi: X\ra Z,\:\varphi': X'\ra Z$ tales que $\varphi\circ f=\varphi'\circ f'$, existe una única función $$ \Phi: X\cup_AX'\lra Z $$ tal que $\Phi\circ j_X=\varphi,\:\Phi\circ j_{X'}=\varphi'$.

Ejemplos:

• (Wedge de espacios) La suma wedge (ó ramillete) $X \vee X'$ de dos espacios se construye escogiendo dos punto distinguidos $x\in X,x'\in X'$ y usando las funciones $$ f:\{*\}\longmapsto X,\qquad f':\{*\}\longmapsto X' $$ que envian a $*$ a los punto $x,x'$, respectivamente. La construcción puede ser generalizada a una cantidad finita de espacios con puntos distinguidos de manera inductiva: $$ X_1\vee \cdots \vee X_n=(X_1\vee \cdots \vee X_{n-1})\vee X_n.\;\;\blacktriangleleft $$
• (Esferas exóticas de Milnor) Para $h,l\in \bz$ consideramos el espacio de adjunción $$ M_{h,l}= (D^4\times S^3)\bigcup_\varphi (D^4\times S^3), $$ donde $\varphi:S^3\times S^3\ra S^3\times S^3$ está dado por $\varphi(x,y)=(x,x^hyx^l)$, tomando a $S^3$ como cuaternios unitarios. Este espacio es homeomorfo a una esfera (de dimensión $7$ si $h+j=\pm 1$) por lo que es llamado una esfera topológica; sin embargo, tiene una estructura diferencial distinta a la estándar así que es llamada esfera topológica exótica.
• (Cocientes como adjunciones) Para un espacio topológico $X,\:A\subseteq X$ y $f:A\ra Y$ función continua se tiene el diagrama siguiente

  

  Notemos que si $Y=\{*\}$ entonces el espacio de adjunción $X\cup_fY\cong X/A$.\bt
• (Cono de una función) El cono $CX$ se define como el cociente $X\times I / X\times \{0\}$; observemos que $CX$ es un espacio contráctil. Dada una función continua $f:X\to Y$ consideramos el diagrama

  

  donde la función de la izquierda es la composición $X\to X\times \{1\}\to CX$. Así, el espacio $C_f$ se obtiene como espacio de adjunción $C_f=Y\cup_fCX$ y es llamado el cono de $f$. $\bt$

La adjunción de una $n$-celda a través de una funcion $f:S^{n-1}\ra X$ corresponde al caso en que $f'$ es la inclusión $S^{n-1}\ra D^n$. En tales condiciones el cociente se denota por $$ X\cup_{S^{n-1}}D^n=X\cup_f e^n, $$ donde $e^n$ es la imagen de $D^n$, llamada la n-celda adjuntada y $f$ es la función de adjunción. La imagen de la restriccion de la funcion $$ \ol{f}:D^n\lra X\cup_fe^n $$ al interior de $D^n$ es llamada celda abierta. Notemos que si $f:S^{n-1}\ra X$ es constante recobramos el bouquet (Ejemplo Wegde) obteniendo $X\cup_f e^n\cong X\vee S^n$.

Un espacio o complejo celular finito es un espacio $X$ construido inductivamente a partir de un conjunto finito de puntos mediante la adjunción iterada de una cantidad finita de celdas. Los elementos del conjunto inicial son llamadas 0-celdas.

En general la estructura de espacio celular no es única como se muestra a continuación:

Ejemplos:

• $S^1$ se obtiene adjuntando una $1$-celda a un punto dado. También puede dotarse de otra estructura iniciando con dos puntos (la esfera $S^0$) adjuntando dos $1$-celdas a los puntos.

  

  En dimensiones mayores: $S^n$ se obtiene de adjuntar dos $r$-celdas, para $0\leq r\leq n$ ó también adjuntando una $n$-celda a una $0$-celda.
• La suma wedge de $n$ espacios homeomorfos a $S^1$ tiene una estructura celular dada por una $0$-celda a la que se la adjuntan $n$ $1$-celdas. $\bt$

Sea $P$ poligono plano con un número par $2n$ de lados. En la sección que sigue estudiaremos el cociente definido en $P$ mediante la identificación de sus lados a pares. El resultado puede considerarse como la adjunción de una $2$-celda a un wedge de $n$ circunferencias.

Ejemplo

• (Espacios proyectivos) Recordemos que $\rp{n-1}$ se obtiene de $S^{n-1}$ mediante la acción antipodal de $\bz_2$. Esta construcción tiene una función cociente $$ \pi_{n-1}:S^{n-1}\lra \rp{n-1} $$ Tomando a esta función como una función de pegado obtenemos el diagrama

  

  que muestra que $\rp{n-1}\cup_{\pi_{n-1}} e^n$ se obtiene de hacer la identificación en $D^n$ de $x\sim -x$ para $x\in S^{n-1}$. Por lo tanto, $$ \rp{n}\cong \rp{n-1}\cup_{\pi_{n-1}} e^n.\;\;\blacktriangleleft $$